www.wikidata.uk-ua.nina.az

Функція Веєрштрасса приклад неперервної функції яка ніде не має похідної контрприклад для гіпотези Ампера Графік функції

Функція Веєрштрасса

Функція Веєрштрасса — приклад неперервної функції, яка ніде не має похідної; контрприклад для гіпотези Ампера.

Графік функції Веєрштрасса на інтервалі [-2, 2]. Цей графік має фрактальний характер: збільшення (у червоному колі) подібне до всього графіка.
Еволюція кривої функції Вейєрштрасса при лінійному зростанні значення від до , при фіксованому рівні недиференційовність починається з .

Функція Веєрштрасса задається на всій дійсній прямій єдиним аналітичним виразом:

де — довільне непарне число, а — додатне число, менше одиниці. Цей функціональний ряд мажорується рядом

тому функція визначена і неперервна при всіх дійсних . Проте ця функція не має похідної принаймні при

Для доведення відсутності похідної в довільній точці , будують дві послідовності і , що збігаються в точці , та доводять, що відношення

мають різні знаки принаймні за

Для побудови зазначених послідовностей попередньо визначають такі цілі числа , щоб різниця

лежала між та , а потім вважають, що

Відсутність похідної у всіх точках за загальніших умов

була встановлена Гарді.

Історична довідка Редагувати

У 1806 році Ампер зробив спробу довести аналітично, що всяка «довільна» функція диференційована всюди, за винятком «виняткових та ізольованих» значень аргументу. При цьому приймалося за очевидне можливість розбиття інтервалу зміни аргументу на частини, в яких функція була б монотонною. З цими зауваженнями гіпотезу Ампера можна розглядати як несуворе формулювання теореми Лебега . У першій половині XIX століття робилися спроби довести гіпотезу Ампера для ширшого класу, саме для всіх неперервних функцій. У 1861 році Ріман навів своїм слухачам як контрприклад таку функцію

проте дослідження диференційованості цієї функції надзвичайно складне. У 1970 році Дж. Джевер довів, що ця функція все ж має похідну в деяких раціональних точках. У 1872 році Веєрштрасс зазначив простіший контрприклад — введену вище функцію та надав суворе доведення її недиференційованності. У пресі цей приклад вперше з'явився у 1875 році в роботі Дюбуа-Реймона . Ще простіший приклад належить ван дер Вардену (1930):

де фігурні дужки означають дробову частину.

Література Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Hardy G. H. Weierstrass's nondifferentiable function // Trans. Amer. Math. Soc., 17 (1916), р. 301-325. Втім і Веєрштрасс згадував це твердження в листі до Дюбуа-Реймону у 1873 році, див.: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Веєрштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
  2. Ampère, AM / / Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
  3. Рісс. Ф., С.-Надь Б. Лекції з функціонального аналізу. М.: Мир, 1979. С. 13.
  4. Доповідь Веєрштрасса, прочитана в Пруській академії наук 18 липня 1872 р., опублікована в зібранні творів (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
  5. Du Bois-Reymond R. //J. für Math., 79 (1875), p. 21-37; Веєрштрасс був редактором цього журналу і повідомив про свій контрприклад в листі до Дюбуа-Реймону 23 листопада 1873 р., див: Полубарінова-Кочина П. Я. Карл Веєрштрасс. Москва: Наука, 1985. с. 229.
  6. Van der Waerden B.L.//Math. Zeitschr., 32 (1930), p. 474-475.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Funkciya Veyershtrassa priklad neperervnoyi funkciyi yaka nide ne maye pohidnoyi kontrpriklad dlya gipotezi Ampera Grafik funkciyi Veyershtrassa na intervali 2 2 Cej grafik maye fraktalnij harakter zbilshennya u chervonomu koli podibne do vsogo grafika Evolyuciya krivoyi funkciyi Vejyershtrassa pri linijnomu zrostanni znachennya b displaystyle b vid 0 1 displaystyle 0 1 do 5 displaystyle 5 pri fiksovanomu rivni a 0 5 displaystyle a 0 5 nediferencijovnist pochinayetsya z b 2 displaystyle b 2 Funkciya Veyershtrassa zadayetsya na vsij dijsnij pryamij yedinim analitichnim virazom w x n 0 b n cos a n p x displaystyle w x sum n 0 infty b n cos a n pi x de a displaystyle a dovilne neparne chislo a b displaystyle b dodatne chislo menshe odinici Cej funkcionalnij ryad mazhoruyetsya ryadom n 0 b n displaystyle sum n 0 infty b n tomu funkciya w displaystyle w viznachena i neperervna pri vsih dijsnih x displaystyle x Prote cya funkciya ne maye pohidnoyi prinajmni pri a b gt 3 2 p 1 displaystyle ab gt frac 3 2 pi 1 Dlya dovedennya vidsutnosti pohidnoyi v dovilnij tochci x 0 displaystyle x 0 buduyut dvi poslidovnosti x m displaystyle x m i x m displaystyle x m sho zbigayutsya v tochci x 0 displaystyle x 0 ta dovodyat sho vidnoshennya f x m f x 0 x m x 0 displaystyle frac f x m f x 0 x m x 0 i f x m f x 0 x m x 0 displaystyle frac f x m f x 0 x m x 0 mayut rizni znaki prinajmni za a b gt 3 2 p 1 displaystyle ab gt frac 3 2 pi 1 i a gt 1 displaystyle a gt 1 Dlya pobudovi zaznachenih poslidovnostej poperedno viznachayut taki cili chisla a m displaystyle a m shob riznicya a m x 0 a m x m 1 displaystyle a m x 0 a m x m 1 lezhala mizh 1 2 displaystyle tfrac 1 2 ta 1 2 displaystyle tfrac 1 2 a potim vvazhayut sho x m a m 1 a m displaystyle x m frac a m 1 a m i x m a m 1 a m displaystyle x m frac a m 1 a m Vidsutnist pohidnoyi u vsih tochkah za zagalnishih umov a b 1 displaystyle ab geq 1 ta a gt 1 displaystyle a gt 1 bula vstanovlena Gardi 1 Istorichna dovidka RedaguvatiU 1806 roci Amper 2 zrobiv sprobu dovesti analitichno sho vsyaka dovilna funkciya diferencijovana vsyudi za vinyatkom vinyatkovih ta izolovanih znachen argumentu Pri comu prijmalosya za ochevidne mozhlivist rozbittya intervalu zmini argumentu na chastini v yakih funkciya bula b monotonnoyu Z cimi zauvazhennyami gipotezu Ampera mozhna rozglyadati yak nesuvore formulyuvannya teoremi Lebega 3 U pershij polovini XIX stolittya robilisya sprobi dovesti gipotezu Ampera dlya shirshogo klasu same dlya vsih neperervnih funkcij U 1861 roci Riman naviv svoyim sluhacham yak kontrpriklad taku funkciyu r x n 1 sin n 2 x n 2 displaystyle r x sum limits n 1 infty frac sin n 2 x n 2 nbsp prote doslidzhennya diferencijovanosti ciyeyi funkciyi nadzvichajno skladne U 1970 roci Dzh Dzhever doviv sho cya funkciya vse zh maye pohidnu v deyakih racionalnih tochkah U 1872 roci Veyershtrass zaznachiv prostishij kontrpriklad vvedenu vishe funkciyu w displaystyle w nbsp ta nadav suvore dovedennya yiyi nediferencijovannosti 4 U presi cej priklad vpershe z yavivsya u 1875 roci v roboti Dyubua Rejmona 5 She prostishij priklad nalezhit van der Vardenu 1930 v x n 0 10 n x 10 n displaystyle v x sum limits n 0 infty frac 10 n x 10 n nbsp de figurni duzhki oznachayut drobovu chastinu 6 Literatura RedaguvatiWeierstrass K Math Werke Bd 2 Berlin 1895 Abh 6 Riss F S Nad B Lekciyi z funkcionalnogo analizu M Mir 1979 Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2023 1300 s ukr Primitki Redaguvati Hardy G H Weierstrass s nondifferentiable function Trans Amer Math Soc 17 1916 r 301 325 Vtim i Veyershtrass zgaduvav ce tverdzhennya v listi do Dyubua Rejmonu u 1873 roci div Polubarinova Kochina P Ya Karl Veyershtrass Moskva Nauka 1985 s 229 Ampere AM Ecole Politechnique 6 1806 fasc 13 Riss F S Nad B Lekciyi z funkcionalnogo analizu M Mir 1979 S 13 Dopovid Veyershtrassa prochitana v Pruskij akademiyi nauk 18 lipnya 1872 r opublikovana v zibranni tvoriv Weierstrass K Werke Bd 2 Berlin 1895 Abh 6 Du Bois Reymond R J fur Math 79 1875 p 21 37 Veyershtrass buv redaktorom cogo zhurnalu i povidomiv pro svij kontrpriklad v listi do Dyubua Rejmonu 23 listopada 1873 r div Polubarinova Kochina P Ya Karl Veyershtrass Moskva Nauka 1985 s 229 Van der Waerden B L Math Zeitschr 32 1930 p 474 475 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Funkciya Veyershtrassa amp oldid 40667021