Функціона́льне рівня́ння (функці́йне рівня́ння) — рівняння, яке виражає зв'язок між значенням функції в одній точці з її значеннями в інших точках. Багато які з властивостей функцій можна отримати, досліджуючи функційні рівняння, яким ці функції задовольняють. Термін «функціональне рівняння» як правило використовується для рівнянь, які не зводяться простими способами до алгебраїчних рівнянь. Ця незводимість найчастіше зумовлена тим, що аргументами невідомої функції у рівнянні є не самі незалежні змінні, а деякі відомі функції від них.
Приклади функціональних рівнянь
- Функціональне рівняння
- ,
- де — гамма-функція Ейлера, задовольняє дзета-функція Рімана .
- Гамма-функція є єдиним розв'язком наступної системи з трьох рівнянь:
- Функціональне рівняння:
- ,
- де є цілими числами, які задовольняють нерівності , тобто:
- ,
- визначає як модулярну форму порядку .
- Функціональні рівняння Коші:
- — задовольняють всі лінійні однорідні функції ,
- — задовольняють всі показникові функції ,
- — задовольняють всі логарифмічні функції ,
- — задовольняють всі степеневі функції .
- Функціональні рівняння Коші зводяться одне до одного. Так, рівняння зводиться до рівняння після заміни (для цього, очевидно, потрібно, щоб не була тотожним нулем). В класі неперервних функцій і в класі монотонних функцій наведені розв'язки — єдині, якщо не рахувати вироджені розв'язки Однак в більш широких класах функцій можливі вельми екзотичні розв'язки, див. статтю [ru].
- Інші:
- — квадратичне рівняння або правило паралелограма, задовольняє ,
- — рівняння Єнсена, задовольняють всі лінійні функції ,
- — рівняння Лобачевського (версія рівняння Єнсена), задовольняє ,
- — рівняння Даламбера,
- — рівняння Абеля,
- — [en], розв'язком є , пов'язана з функцією .
Рекурентні співвідношення
Частковим випадком функційних рівнянь є рекурентне співвідношення, що містить невідому функцію від цілих чисел і оператор зсуву. Приклад рекурентного співвідношення:
Лінійні рекурентні співвідношення
(де — константи, що не залежать від ) мають теорію, аналогом якої є теорія лінійних диференціальних рівнянь. Так, для наведеного вище рекурентного співвідношення достатньо знайти два лінійно незалежних розв'язки, всі інші розв'язки будуть їх лінійними комбінаціями.
Щоб знайти ці розв'язки, потрібно підставити в рекурентне співвідношення пробну функцію з невизначеним параметром і спробувати знайти ті , при яких буде задовольнятись дане рекурентне співвідношення. Для наведеного прикладу отримаємо квадратне рівняння з двома різними коренями і тому загальним розв'язком для даного рекурентного співвідношення буде формула (константи і підбираються так, щоб при і формула давала потрібні значення для величин і ). У випадку кратних коренів многочлена додатковими пробними розв'язками слугують функції і т. д.
Найвідомішим рекурентним співвідношенням, мабуть, є числа Фібоначчі
Розв'язування функціональних рівнянь
Існують деякі загальні методи розв'язування функціональних рівнянь.
Зокрема, корисним може виявитися застосування поняття про інволюцію, тобто, використання властивостей функцій, для яких ; найпростіші інволюції:
- , , , .
Наприклад, для розв'язування рівняння:
для всіх і , покладемо : . Тоді і . Далі, поклавши :
Квадрат дійсного числа невід'ємний, і сума невід'ємних чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді коли обидва числа рівні 0. Отже для всіх і є єдиним розв'язком цього рівняння.
Література
- Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
- Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
- Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
- Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.
Посилання
- Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- text on functional equations in problem solving.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkciona lne rivnya nnya funkci jne rivnya nnya rivnyannya yake virazhaye zv yazok mizh znachennyam funkciyi v odnij tochci z yiyi znachennyami v inshih tochkah Bagato yaki z vlastivostej funkcij mozhna otrimati doslidzhuyuchi funkcijni rivnyannya yakim ci funkciyi zadovolnyayut Termin funkcionalne rivnyannya yak pravilo vikoristovuyetsya dlya rivnyan yaki ne zvodyatsya prostimi sposobami do algebrayichnih rivnyan Cya nezvodimist najchastishe zumovlena tim sho argumentami nevidomoyi funkciyi u rivnyanni ye ne sami nezalezhni zminni a deyaki vidomi funkciyi vid nih Prikladi funkcionalnih rivnyanFunkcionalne rivnyannyaf s 2sps 1sin ps2 G 1 s f 1 s displaystyle f s 2 s pi s 1 sin left frac pi s 2 right Gamma 1 s f 1 s de G z displaystyle Gamma z gamma funkciya Ejlera zadovolnyaye dzeta funkciya Rimana z displaystyle zeta Gamma funkciya ye yedinim rozv yazkom nastupnoyi sistemi z troh rivnyan f x f x 1 x displaystyle f x f x 1 over x f y f y 12 p22y 1f 2y displaystyle f y f left y frac 1 2 right frac sqrt pi 2 2y 1 f 2y f z f 1 z psin pz displaystyle f z f 1 z pi over sin pi z formula dopovnennya Ejlera Funkcionalne rivnyannya f az bcz d cz d kf z displaystyle f left az b over cz d right cz d k f z de a b c d displaystyle a b c d ye cilimi chislami yaki zadovolnyayut nerivnosti ad bc 1 displaystyle ad bc 1 tobto abcd 1 displaystyle begin vmatrix a amp b c amp d end vmatrix 1 viznachaye f displaystyle f yak modulyarnu formu poryadku k displaystyle k Funkcionalni rivnyannya Koshi f x y f x f y displaystyle f x y f x f y zadovolnyayut vsi linijni odnoridni funkciyi f x ax displaystyle f x ax f x y f x f y displaystyle f x y f x f y zadovolnyayut vsi pokaznikovi funkciyi f x exp ax ax displaystyle f x exp left alpha x right a x f xy f x f y displaystyle f xy f x f y zadovolnyayut vsi logarifmichni funkciyi f x alog x loga x displaystyle f x alpha log left x right log a left x right f xy f x f y displaystyle f xy f x f y zadovolnyayut vsi stepenevi funkciyi f x exp alog x xa displaystyle f x exp left alpha log left x right right x a Funkcionalni rivnyannya Koshi zvodyatsya odne do odnogo Tak rivnyannya f x1x2 f x1 f x2 displaystyle f x 1 x 2 f x 1 f x 2 zvoditsya do rivnyannya g y1 y2 g y1 g y2 displaystyle g y 1 y 2 g y 1 g y 2 pislya zamini g y log f exp y displaystyle g y log left f exp y right dlya cogo ochevidno potribno shob f x displaystyle f x ne bula totozhnim nulem V klasi neperervnih funkcij i v klasi monotonnih funkcij navedeni rozv yazki yedini yaksho ne rahuvati virodzheni rozv yazki f x 0 displaystyle f x equiv 0 Odnak v bilsh shirokih klasah funkcij mozhlivi velmi ekzotichni rozv yazki div stattyu ru dd Inshi f x y f x y 2 f x f y displaystyle f x y f x y 2 f x f y kvadratichne rivnyannya abo pravilo paralelograma zadovolnyaye f x kx2 displaystyle f x kx 2 f x y2 f x f y 2 displaystyle f left frac x y 2 right frac f x f y 2 rivnyannya Yensena zadovolnyayut vsi linijni funkciyi f x ax b displaystyle f x ax b f x y f x y f x 2 displaystyle f x y f x y f x 2 rivnyannya Lobachevskogo versiya rivnyannya Yensena zadovolnyaye f x acx displaystyle f x ac x f x y f x y 2 f x f y displaystyle f x y f x y 2 f x f y rivnyannya Dalambera f h x f x 1 displaystyle f h x f x 1 rivnyannya Abelya f h x cf x displaystyle f h x cf x en rozv yazkom ye pov yazana z funkciyeyu h x displaystyle textstyle h x Rekurentni spivvidnoshennyaChastkovim vipadkom funkcijnih rivnyan ye rekurentne spivvidnoshennya sho mistit nevidomu funkciyu vid cilih chisel i operator zsuvu Priklad rekurentnogo spivvidnoshennya a n 3a n 1 4a n 2 displaystyle a n 3a n 1 4a n 2 Linijni rekurentni spivvidnoshennya a n i 1 kci a n i displaystyle a n sum i 1 k c i cdot a n i de c1 c2 ck displaystyle c 1 c 2 dots c k konstanti sho ne zalezhat vid n displaystyle n mayut teoriyu analogom yakoyi ye teoriya linijnih diferencialnih rivnyan Tak dlya navedenogo vishe rekurentnogo spivvidnoshennya dostatno znajti dva linijno nezalezhnih rozv yazki vsi inshi rozv yazki budut yih linijnimi kombinaciyami Shob znajti ci rozv yazki potribno pidstaviti v rekurentne spivvidnoshennya probnu funkciyu a n ln displaystyle a n lambda n z neviznachenim parametrom l displaystyle lambda i sprobuvati znajti ti l displaystyle lambda pri yakih bude zadovolnyatis dane rekurentne spivvidnoshennya Dlya navedenogo prikladu otrimayemo kvadratne rivnyannya l2 3l 4 displaystyle lambda 2 3 lambda 4 z dvoma riznimi korenyami l 1 displaystyle lambda 1 i l 4 displaystyle lambda 4 tomu zagalnim rozv yazkom dlya danogo rekurentnogo spivvidnoshennya bude formula a n d14n d2 1 n displaystyle a n d 1 4 n d 2 1 n konstanti d1 displaystyle d 1 i d2 displaystyle d 2 pidbirayutsya tak shob pri n 1 displaystyle n 1 i n 2 displaystyle n 2 formula davala potribni znachennya dlya velichin a 1 displaystyle a 1 i a 2 displaystyle a 2 U vipadku kratnih koreniv mnogochlena dodatkovimi probnimi rozv yazkami sluguyut funkciyi nln displaystyle n lambda n n2ln displaystyle n 2 lambda n i t d Najvidomishim rekurentnim spivvidnoshennyam mabut ye chisla Fibonachchi a n a n 1 a n 2 displaystyle a n a n 1 a n 2 Rozv yazuvannya funkcionalnih rivnyanIsnuyut deyaki zagalni metodi rozv yazuvannya funkcionalnih rivnyan Zokrema korisnim mozhe viyavitisya zastosuvannya ponyattya pro involyuciyu tobto vikoristannya vlastivostej funkcij dlya yakih f f x x displaystyle f f x x najprostishi involyuciyi f x x displaystyle f x x f x 1x displaystyle f x frac 1 x f x 11 x 1 displaystyle f x frac 1 1 x 1 f x 1 x displaystyle f x 1 x Napriklad dlya rozv yazuvannya rivnyannya f2 x y f2 x f2 y displaystyle f 2 x y f 2 x f 2 y dlya vsih x y R displaystyle x y in mathbb R i f R R displaystyle f mathbb R to R poklademo x y 0 displaystyle x y 0 f2 0 f2 0 f2 0 displaystyle f 2 0 f 2 0 f 2 0 Todi f2 0 0 displaystyle f 2 0 0 i f 0 0 displaystyle f 0 0 Dali poklavshi y x displaystyle y x f2 x x f2 x f2 x displaystyle f 2 x x f 2 x f 2 x f2 0 f2 x f2 x displaystyle f 2 0 f 2 x f 2 x 0 f2 x f2 x displaystyle 0 f 2 x f 2 x Kvadrat dijsnogo chisla nevid yemnij i suma nevid yemnih chisel dorivnyuye nulyu todi i tilki todi koli obidva chisla rivni 0 Otzhe f2 x 0 displaystyle f 2 x 0 dlya vsih x displaystyle x i f x 0 displaystyle f x equiv 0 ye yedinim rozv yazkom cogo rivnyannya LiteraturaGolovinskij I A Rannyaya istoriya analiticheskih iteracij i funkcionalnyh uravnenij Istoriko matematicheskie issledovaniya M Nauka vyp XXV 1980 s 25 51 Kuczma M On the functional equation fn x g x Ann Polon Math 11 1961 161 175 Kuczma M An introduction to the theory of functional equations and inequalities Warszawa Krakow Katowice Polish Scientific Publishers amp Silesian University 1985 Lihtarnikov L M Elementarnoe vvedenie v funkcionalnye uravneniya SPb Lan 1997 PosilannyaFunctional Equations Exact Solutions at EqWorld The World of Mathematical Equations Functional Equations Index at EqWorld The World of Mathematical Equations text on functional equations in problem solving