www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорія середнього поля або Теорія самоузгодженого поля підхід до вивчення поведінки великих та складних стохастичних сис

Теорія середнього поля

Теорія середнього поля або Теорія самоузгодженого поля — підхід до вивчення поведінки великих та складних стохастичних систем у фізиці та теорії імовірностей через дослідження простіших моделей. Такі моделі розглядають численні малі компоненти, що взаємодіють між собою. Вплив інших індивідуальних компонент на заданий об'єкт апроксимується усередненим ефектом, завдяки чому задача багатьох тіл зводиться до одночастинкової задачі.

Ідея вперше склалася в фізиці в роботах П'єра Кюрі та П'єра Вейсса, що описували фазовий перехід. Аналогічні підходи знайшли застосування в моделях епідемій, теорії черг, в аналізі комп'ютерних мереж та теорії ігор.

Задачу багатьох тіл з врахуванням взаємодії між ними розв'язати важко, хіба що для найпростіших випадків (теорія випадкових полів, одновимірна модель Ізінга). Тому систему N тіл заміняють одночастинковою задачею з добре підібраним зовнішнім потенціалом, який заміняє дію всіх інших частинок на вибрану. Велику складність має (наприклад, при обчисленні функції розподілу в статистичній механіці) врахування перестановок при обчисленні взаємодії в гамільтоніані при підсумовуванні по всіх станах. Мета теорії середнього поля обійти цю комбінаторику. В різних областях науки теорія середнього поля відома під своїми власними назвами, серед яких наближення Брегга-Вільямса, модель ґратки Бете, теорія Ландау, наближення П'єра Вейсса, терія розчинів Флорі-Гаггінза або теорія Схейтьєнса-Флера.

Основна ідея теорії середнього поля — замінити всі дії на вибране тіло усередненою або ефективною взаємодією, яку іноді називають молекулярним полем. Це зводить будь-яку задачу багатьох тіл до ефективної одночастинкової задачі. Легкість розв'язання задачі теорії середнього поля означає отримання певного поняття про поведінку системи з порівняно незначними витратами.

У класичній теорії поля функцію Гамільтона можна розкласти в ряд, використовуючи як параметр розкладу величину флуктуацій навколо середнього поля. Середнє поле можна тоді розглядати як нульовий порядок цього розкладу. Це означає, що теорія середнього поля не містить жодних флуктуацій, але це відповідає ідеї того, що взаємодії заміняються на середнє поле. Доволі часто при вивченні флуктуацій теорія середнього поля є стартовим майданчиком для дослідження флуктуацій першого чи другого порядку.

Загалом визначення того наскільки наближення середнього поля працюватиме для конкретної задачі сильно залежить від розмірності. У теорії середнього поля численні взаємодії заміняються одною ефективною дією. Тоді, природно, якщо поле чи частинка в початковій системі має багато партнерів взаємодії, то теорія середнього поля буде ефективнішою. Це справедливо для високих розмірностей, там де функція Гамільтона містить у собі сили з великим радіусом дії або коли частинки протяжні (наприклад, полімери). Критерій Гінзбурга є формальним виразом того, як флуктуації роблять наближення середнього поля поганим, часто залежно від просторової розмірності системи.

Тоді як теорія середнього поля склалася в статистичній механіці, вона знайша застосування в інших областях, таких як інтерференція, теорії графів, нейронауці та при вивченні штучного інтелекту.


Формальний підхід ред.

В основі формального підходу до теорії середнього поля лежить нерівність Боголюбова. Вона стверджує, що вільна енергія системи з функцією Гамільтона

має верхню межу

де  — ентропія, а усереднення проводиться по рівноважному ансамблю системи з функцією Гамільтона . У спеціальному випадку, коли основна функція Гамільтона описує систему без взаємодії, а тому її можна записати як

де  — скорочення для позначення ступеню вільності окремих складових статистичної системи (атомів, спінів тощо), можна розглядати уточнення верхньої межі мінімізуючи правосторонню частину нерівності. Мінімізація основної системи є тоді найкращим наближенням до заданої. Вона відома як наближення середнього поля.

Найчастіше функція Гамільтона системи, яку потрібно дослідити, містить лише парну взаємодію, тобто

де  — набір парних взаємодій. Тоді процедуру мінімізації можна провести формально. Визначається як узагальнена сума спостережуваних по ступенях вільності однієї компоненти (сума для дискретних величин, інтергал для неперервних). Вільна енергія задається наближено як

де  — імовірність знайти основну систему в стані зі змінними . Ця ймовірність задається нормалізованим больцманновим фактором

де  — статистична сума. Тоді

Для мінімізації береться похідна щодо ймовірності однієї ступені вільності , використовуючи невизначені множники Лагранжа для нормування. Кінцевий результат — система самоузгоджених рівнянь

де середнє поле задається як

Застосування ред.

Теорію середнього поля можна застосовувати для низки фізичних систем, вивчаючи, наприклад, фазові переходи.

Модель Ізінга ред.

Нехай модель Ізінга визначена на -вимірній ґратці. Гамільтоніан задається як

де позначає суму по парах найближчих сусідів , а суть спіни найближчих сусідів.

Вводячи флуктуаційні відхилення від середнього значення , гамільтоніан можна переписати

де флуктуації спіну позначено .

Розкладаючи праву частину, можна отримати член, що залежить тільки від середнього значення спіну і не залежить від спінової конфігурації. Цей член тривіальний, він не впливає на статистичні властивості системи. Наступний член містить добуток середнього значення спіну та флуктуаційого члену. Нарешті, останній член містить добутки флуктуацій.

Наближення середнього поля полягає в нехтуванні цим членом другого порядку щодо флуктуацій. Ці флуктуації зростають у системах малої розмірності, тож теорія середнього поля працює краще для систем високої розмірності.


Доданки можна ще раз перегрупувати. Крім того,середнє значення кожного зі спінів не повинно залежати від вузла, оскільки Ізінгова система трансляційно інваріатна. Тому

Сумування по сусідах можна переписати , де  — 'найближчі сусіди ', а множник запобігає врахуванню одного й того ж доданка двічі, оскільки в утворенні кожного зв'язку беруть участь два спіни. Спрощення дає кінцевий результат

де  — координаційне число. На цю пору, гамільтоніан Ізінга розбито на суму одночастинкових гамільтоніанів з ефективним середнім полем , що є сумою зовнішнього поля та середнього поля, яке виникає завдяки сусіднім спінам. Варто зауважити, що це середнє поле безпосередньо залежить від числа найближчих сусідів, а тому від розміності системи (наприклад, для гіперкубічної ґратки розмірності , ).

Цей гамільтоніан підставляють у функцію розподілу, і розв'язують ефективну одновимірну задачу, отримуючи

де  — число вузлів ґратки. Це замкнений й точний вираз для функції розподілу системи. З нього можна отримати вільну енергію і розразувати критичні індекси. Зокрема, можна отримати намагніченість в залежності від .

Так отримано два рівняння, що задають співвідношення між та , що дозволяє визначити в залежності від температури. Наслідком є наступне:

  • для температур, більших від певного значення , єдиним розв'язком є . Система є парамагнетиком.
  • для існує два ненульових розв'язки: . Система є феромагнетиком.

знаходиться зі співвідношення: . Цим продемонстровано, що теорія середнього поля може описати фазовий перехід у феромагнітний стан.

Застосування до інших систем ред.

Аналогічно, теорію середнього поля можна застосовувати до інших гамільтоніанів, як от:

  • При вивченні фазового переходу метал-надпровідник. У цьому випадку, аналогом намагнічення є надпровідна щілина .
  • Для молекулярного поля рідкого кристалу, яке виникає, коли лапласіан поля директора не дорівнює нулю.
  • Для визначення оптимальної упаковки бокових ланцюжків амінокислот для заданої третинної структури при передбаченні будови білків.

Узагальнення для залежних від часу середніх полів ред.

У теорії середнього поля, воно виникає для окремого вузла як скалярне чи векторне, але не залежить від часу. Однак, це необов'язково: у варіанті теорії, який називають динамічною теорією середного поля, середнє поле залежить від часу. Наприклад, динамічну теорію можна застосувати до моделі Габбарда, вивчаючи перехід метал — діелектрик Мотта.

Виноски ред.

  1. Kadanoff, L. P. (2009). More is the Same; Phase Transitions and Mean Field Theories. Journal of Statistical Physics 137 (5–6): 777–797. Bibcode:2009JSP...137..777K. arXiv:0906.0653. doi:10.1007/s10955-009-9814-1. 
  2. Weiss, Pierre (1907). . J. Phys. Theor. Appl. 6 (1): 661–690. Архів оригіналу за 3 грудня 2017. Процитовано 18 квітня 2017. 
  3. Boudec, J. Y. L.; McDonald, D.; Mundinger, J. (2007). . Fourth International Conference on the Quantitative Evaluation of Systems (QEST 2007). с. 3. ISBN 0-7695-2883-X. doi:10.1109/QEST.2007.8. Архів оригіналу за 3 березня 2016. Процитовано 18 квітня 2017. 
  4. Baccelli, F.; Karpelevich, F. I.; Kelbert, M. Y.; Puhalskii, A. A.; Rybko, A. N.; Suhov, Y. M. (1992). A mean-field limit for a class of queueing networks. Journal of Statistical Physics 66 (3–4): 803. Bibcode:1992JSP....66..803B. doi:10.1007/BF01055703. 
  5. Lasry, J. M.; Lions, P. L. (2007). Mean field games. Japanese Journal of Mathematics 2: 229. doi:10.1007/s11537-007-0657-8. 
  6. Chaikin, P. M.; Lubensky, T. C. (2007). Principles of condensed matter physics (вид. 4th print). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79450-3. 
  7. HE Stanley (1971). Mean field theory of magnetic phase transitions. Introduction to phase transitions and critical phenomena. Oxford University Press. ISBN 0-19-505316-8. 
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Teoriya serednogo polya abo Teoriya samouzgodzhenogo polya pidhid do vivchennya povedinki velikih ta skladnih stohastichnih sistem u fizici ta teoriyi imovirnostej cherez doslidzhennya prostishih modelej Taki modeli rozglyadayut chislenni mali komponenti sho vzayemodiyut mizh soboyu Vpliv inshih individualnih komponent na zadanij ob yekt aproksimuyetsya userednenim efektom zavdyaki chomu zadacha bagatoh til zvoditsya do odnochastinkovoyi zadachi Ideya vpershe sklalasya v fizici v robotah P yera Kyuri 1 ta P yera Vejssa sho opisuvali fazovij perehid 2 Analogichni pidhodi znajshli zastosuvannya v modelyah epidemij 3 teoriyi cherg 4 v analizi komp yuternih merezh ta teoriyi igor 5 Zadachu bagatoh til z vrahuvannyam vzayemodiyi mizh nimi rozv yazati vazhko hiba sho dlya najprostishih vipadkiv teoriya vipadkovih poliv odnovimirna model Izinga Tomu sistemu N til zaminyayut odnochastinkovoyu zadacheyu z dobre pidibranim zovnishnim potencialom yakij zaminyaye diyu vsih inshih chastinok na vibranu Veliku skladnist maye napriklad pri obchislenni funkciyi rozpodilu v statistichnij mehanici vrahuvannya perestanovok pri obchislenni vzayemodiyi v gamiltoniani pri pidsumovuvanni po vsih stanah Meta teoriyi serednogo polya obijti cyu kombinatoriku V riznih oblastyah nauki teoriya serednogo polya vidoma pid svoyimi vlasnimi nazvami sered yakih nablizhennya Bregga Vilyamsa model gratki Bete teoriya Landau nablizhennya P yera Vejssa teriya rozchiniv Flori Gagginza abo teoriya Shejtyensa Flera Osnovna ideya teoriyi serednogo polya zaminiti vsi diyi na vibrane tilo userednenoyu abo efektivnoyu vzayemodiyeyu yaku inodi nazivayut molekulyarnim polem 6 Ce zvodit bud yaku zadachu bagatoh til do efektivnoyi odnochastinkovoyi zadachi Legkist rozv yazannya zadachi teoriyi serednogo polya oznachaye otrimannya pevnogo ponyattya pro povedinku sistemi z porivnyano neznachnimi vitratami U klasichnij teoriyi polya funkciyu Gamiltona mozhna rozklasti v ryad vikoristovuyuchi yak parametr rozkladu velichinu fluktuacij navkolo serednogo polya Serednye pole mozhna todi rozglyadati yak nulovij poryadok cogo rozkladu Ce oznachaye sho teoriya serednogo polya ne mistit zhodnih fluktuacij ale ce vidpovidaye ideyi togo sho vzayemodiyi zaminyayutsya na serednye pole Dovoli chasto pri vivchenni fluktuacij teoriya serednogo polya ye startovim majdanchikom dlya doslidzhennya fluktuacij pershogo chi drugogo poryadku Zagalom viznachennya togo naskilki nablizhennya serednogo polya pracyuvatime dlya konkretnoyi zadachi silno zalezhit vid rozmirnosti U teoriyi serednogo polya chislenni vzayemodiyi zaminyayutsya odnoyu efektivnoyu diyeyu Todi prirodno yaksho pole chi chastinka v pochatkovij sistemi maye bagato partneriv vzayemodiyi to teoriya serednogo polya bude efektivnishoyu Ce spravedlivo dlya visokih rozmirnostej tam de funkciya Gamiltona mistit u sobi sili z velikim radiusom diyi abo koli chastinki protyazhni napriklad polimeri Kriterij Ginzburga ye formalnim virazom togo yak fluktuaciyi roblyat nablizhennya serednogo polya poganim chasto zalezhno vid prostorovoyi rozmirnosti sistemi Todi yak teoriya serednogo polya sklalasya v statistichnij mehanici vona znajsha zastosuvannya v inshih oblastyah takih yak interferenciya teoriyi grafiv nejronauci ta pri vivchenni shtuchnogo intelektu Zmist 1 Formalnij pidhid 2 Zastosuvannya 2 1 Model Izinga 2 2 Zastosuvannya do inshih sistem 3 Uzagalnennya dlya zalezhnih vid chasu serednih poliv 4 VinoskiFormalnij pidhid red V osnovi formalnogo pidhodu do teoriyi serednogo polya lezhit nerivnist Bogolyubova Vona stverdzhuye sho vilna energiya sistemi z funkciyeyu Gamiltona H H 0 D H displaystyle mathcal H mathcal H 0 Delta mathcal H nbsp maye verhnyu mezhu F F 0 d e f H 0 T S 0 displaystyle F leq F 0 stackrel mathrm def langle mathcal H rangle 0 TS 0 nbsp de S 0 displaystyle S 0 nbsp entropiya a userednennya provoditsya po rivnovazhnomu ansamblyu sistemi z funkciyeyu Gamiltona H 0 displaystyle mathcal H 0 nbsp U specialnomu vipadku koli osnovna funkciya Gamiltona opisuye sistemu bez vzayemodiyi a tomu yiyi mozhna zapisati yak H 0 i 1 N h i 3 i displaystyle mathcal H 0 sum i 1 N h i left xi i right nbsp de 3 i displaystyle left xi i right nbsp skorochennya dlya poznachennya stupenyu vilnosti okremih skladovih statistichnoyi sistemi atomiv spiniv tosho mozhna rozglyadati utochnennya verhnoyi mezhi minimizuyuchi pravostoronnyu chastinu nerivnosti Minimizaciya osnovnoyi sistemi ye todi najkrashim nablizhennyam do zadanoyi Vona vidoma yak nablizhennya serednogo polya Najchastishe funkciya Gamiltona sistemi yaku potribno dosliditi mistit lishe parnu vzayemodiyu tobto H i j P V i j 3 i 3 j displaystyle mathcal H sum i j in mathcal P V i j left xi i xi j right nbsp de P displaystyle mathcal P nbsp nabir parnih vzayemodij Todi proceduru minimizaciyi mozhna provesti formalno Viznachayetsya T r i f 3 i displaystyle rm Tr i f xi i nbsp yak uzagalnena suma sposterezhuvanih f displaystyle f nbsp po stupenyah vilnosti odniyeyi komponenti suma dlya diskretnih velichin intergal dlya neperervnih Vilna energiya zadayetsya nablizheno yak F 0 displaystyle F 0 nbsp T r 1 2 N H 3 1 3 2 3 N P 0 N 3 1 3 2 3 N displaystyle rm Tr 1 2 N mathcal H xi 1 xi 2 xi N P 0 N xi 1 xi 2 xi N nbsp k T T r 1 2 N P 0 N 3 1 3 2 3 N log P 0 N 3 1 3 2 3 N displaystyle kT rm Tr 1 2 N P 0 N xi 1 xi 2 xi N log P 0 N xi 1 xi 2 xi N nbsp de P 0 N 3 1 3 2 3 N displaystyle P 0 N xi 1 xi 2 xi N nbsp imovirnist znajti osnovnu sistemu v stani zi zminnimi 3 1 3 2 3 N displaystyle xi 1 xi 2 xi N nbsp Cya jmovirnist zadayetsya normalizovanim bolcmannovim faktorom P 0 N 3 1 3 2 3 N 1 Z 0 N e b H 0 3 1 3 2 3 N i 1 N 1 Z 0 e b h i 3 i d e f i 1 N P 0 i 3 i displaystyle begin aligned P 0 N xi 1 xi 2 xi N amp frac 1 Z 0 N e beta mathcal H 0 xi 1 xi 2 xi N amp prod i 1 N frac 1 Z 0 e beta h i left xi i right stackrel mathrm def prod i 1 N P 0 i xi i end aligned nbsp de Z 0 displaystyle Z 0 nbsp statistichna suma Todi F 0 i j P T r i j V i j 3 i 3 j P 0 i 3 i P 0 j 3 j k T i 1 N T r i P 0 i 3 i log P 0 i 3 i displaystyle begin aligned F 0 amp sum i j in mathcal P rm Tr i j V i j left xi i xi j right P 0 i xi i P 0 j xi j amp kT sum i 1 N rm Tr i P 0 i xi i log P 0 i xi i end aligned nbsp Dlya minimizaciyi beretsya pohidna shodo jmovirnosti odniyeyi stupeni vilnosti P 0 i displaystyle P 0 i nbsp vikoristovuyuchi neviznacheni mnozhniki Lagranzha dlya normuvannya Kincevij rezultat sistema samouzgodzhenih rivnyan P 0 i 3 i 1 Z 0 e b h i M F 3 i i 1 2 N displaystyle P 0 i xi i frac 1 Z 0 e beta h i MF xi i qquad i 1 2 N nbsp de serednye pole zadayetsya yak h i M F 3 i j i j P T r j V i j 3 i 3 j P 0 j 3 j displaystyle h i MF xi i sum j i j in mathcal P rm Tr j V i j left xi i xi j right P 0 j xi j nbsp Zastosuvannya red Teoriyu serednogo polya mozhna zastosovuvati dlya nizki fizichnih sistem vivchayuchi napriklad fazovi perehodi 7 Model Izinga red Nehaj model Izinga viznachena na d displaystyle d nbsp vimirnij gratci Gamiltonian zadayetsya yak H J i j s i s j h i s i displaystyle H J sum langle i j rangle s i s j h sum i s i nbsp de i j displaystyle sum langle i j rangle nbsp poznachaye sumu po parah najblizhchih susidiv i j displaystyle langle i j rangle nbsp s i 1 displaystyle s i pm 1 nbsp a s j displaystyle s j nbsp sut spini najblizhchih susidiv Vvodyachi fluktuacijni vidhilennya vid serednogo znachennya m i s i displaystyle m i equiv langle s i rangle nbsp gamiltonian mozhna perepisati H J i j m i d s i m j d s j h i s i displaystyle H J sum langle i j rangle m i delta s i m j delta s j h sum i s i nbsp de fluktuaciyi spinu poznacheno d s i s i m i displaystyle delta s i equiv s i m i nbsp Rozkladayuchi pravu chastinu mozhna otrimati chlen sho zalezhit tilki vid serednogo znachennya spinu i ne zalezhit vid spinovoyi konfiguraciyi Cej chlen trivialnij vin ne vplivaye na statistichni vlastivosti sistemi Nastupnij chlen mistit dobutok serednogo znachennya spinu ta fluktuacijogo chlenu Nareshti ostannij chlen mistit dobutki fluktuacij Nablizhennya serednogo polya polyagaye v nehtuvanni cim chlenom drugogo poryadku shodo fluktuacij Ci fluktuaciyi zrostayut u sistemah maloyi rozmirnosti tozh teoriya serednogo polya pracyuye krashe dlya sistem visokoyi rozmirnosti H H M F J i j m i m j m i d s j m j d s i h i s i displaystyle H approx H MF equiv J sum langle i j rangle m i m j m i delta s j m j delta s i h sum i s i nbsp Dodanki mozhna she raz peregrupuvati Krim togo serednye znachennya kozhnogo zi spiniv ne povinno zalezhati vid vuzla oskilki Izingova sistema translyacijno invariatna Tomu H M F J i j m 2 2 m s i m h i s i displaystyle H MF J sum langle i j rangle left m 2 2m s i m right h sum i s i nbsp Sumuvannya po susidah mozhna perepisati i j 1 2 i j n n i displaystyle sum langle i j rangle frac 1 2 sum i sum j in nn i nbsp de n n i displaystyle nn i nbsp najblizhchi susidi i displaystyle i nbsp a mnozhnik 1 2 displaystyle 1 2 nbsp zapobigaye vrahuvannyu odnogo j togo zh dodanka dvichi oskilki v utvorenni kozhnogo zv yazku berut uchast dva spini Sproshennya daye kincevij rezultat H M F J m 2 N z 2 h m J z h e f f i s i displaystyle H MF frac Jm 2 Nz 2 underbrace h mJz h mathrm eff sum i s i nbsp de z displaystyle z nbsp koordinacijne chislo Na cyu poru gamiltonian Izinga rozbito na sumu odnochastinkovih gamiltonianiv z efektivnim serednim polem h e f f h J z m displaystyle h mathrm eff h Jzm nbsp sho ye sumoyu zovnishnogo polya h displaystyle h nbsp ta serednogo polya yake vinikaye zavdyaki susidnim spinam Varto zauvazhiti sho ce serednye pole bezposeredno zalezhit vid chisla najblizhchih susidiv a tomu vid rozminosti sistemi napriklad dlya giperkubichnoyi gratki rozmirnosti d displaystyle d nbsp z 2 d displaystyle z 2d nbsp Cej gamiltonian pidstavlyayut u funkciyu rozpodilu i rozv yazuyut efektivnu odnovimirnu zadachu otrimuyuchi Z e b J m 2 N z 2 2 cosh h m J z k B T N displaystyle Z e beta Jm 2 Nz 2 left 2 cosh left frac h mJz k B T right right N nbsp de N displaystyle N nbsp chislo vuzliv gratki Ce zamknenij j tochnij viraz dlya funkciyi rozpodilu sistemi Z nogo mozhna otrimati vilnu energiyu i rozrazuvati kritichni indeksi Zokrema mozhna otrimati namagnichenist m displaystyle m nbsp v zalezhnosti vid h e f f displaystyle h mathrm eff nbsp Tak otrimano dva rivnyannya sho zadayut spivvidnoshennya mizh m displaystyle m nbsp ta h e f f displaystyle h mathrm eff nbsp sho dozvolyaye viznachiti m displaystyle m nbsp v zalezhnosti vid temperaturi Naslidkom ye nastupne dlya temperatur bilshih vid pevnogo znachennya T c displaystyle T c nbsp yedinim rozv yazkom ye m 0 displaystyle m 0 nbsp Sistema ye paramagnetikom dlya T lt T c displaystyle T lt T c nbsp isnuye dva nenulovih rozv yazki m m 0 displaystyle m pm m 0 nbsp Sistema ye feromagnetikom T c displaystyle T c nbsp znahoditsya zi spivvidnoshennya T c J z k B displaystyle T c frac Jz k B nbsp Cim prodemonstrovano sho teoriya serednogo polya mozhe opisati fazovij perehid u feromagnitnij stan Zastosuvannya do inshih sistem red Analogichno teoriyu serednogo polya mozhna zastosovuvati do inshih gamiltonianiv yak ot Pri vivchenni fazovogo perehodu metal nadprovidnik U comu vipadku analogom namagnichennya ye nadprovidna shilina D displaystyle Delta nbsp Dlya molekulyarnogo polya ridkogo kristalu yake vinikaye koli laplasian polya direktora ne dorivnyuye nulyu Dlya viznachennya optimalnoyi upakovki bokovih lancyuzhkiv aminokislot dlya zadanoyi tretinnoyi strukturi pri peredbachenni budovi bilkiv Uzagalnennya dlya zalezhnih vid chasu serednih poliv red Dokladnishe Dinamichna teoriya serednogo polyaU teoriyi serednogo polya vono vinikaye dlya okremogo vuzla yak skalyarne chi vektorne ale ne zalezhit vid chasu Odnak ce neobov yazkovo u varianti teoriyi yakij nazivayut dinamichnoyu teoriyeyu serednogo polya serednye pole zalezhit vid chasu Napriklad dinamichnu teoriyu mozhna zastosuvati do modeli Gabbarda vivchayuchi perehid metal dielektrik Motta Vinoski red Kadanoff L P 2009 More is the Same Phase Transitions and Mean Field Theories Journal of Statistical Physics 137 5 6 777 797 Bibcode 2009JSP 137 777K arXiv 0906 0653 doi 10 1007 s10955 009 9814 1 Weiss Pierre 1907 L hypothese du champ moleculaire et la propriete ferromagnetique J Phys Theor Appl 6 1 661 690 Arhiv originalu za 3 grudnya 2017 Procitovano 18 kvitnya 2017 Boudec J Y L McDonald D Mundinger J 2007 A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects Fourth International Conference on the Quantitative Evaluation of Systems QEST 2007 s 3 ISBN 0 7695 2883 X doi 10 1109 QEST 2007 8 Arhiv originalu za 3 bereznya 2016 Procitovano 18 kvitnya 2017 Baccelli F Karpelevich F I Kelbert M Y Puhalskii A A Rybko A N Suhov Y M 1992 A mean field limit for a class of queueing networks Journal of Statistical Physics 66 3 4 803 Bibcode 1992JSP 66 803B doi 10 1007 BF01055703 Lasry J M Lions P L 2007 Mean field games Japanese Journal of Mathematics 2 229 doi 10 1007 s11537 007 0657 8 Chaikin P M Lubensky T C 2007 Principles of condensed matter physics vid 4th print Cambridge Cambridge University Press ISBN 978 0 521 79450 3 HE Stanley 1971 Mean field theory of magnetic phase transitions Introduction to phase transitions and critical phenomena Oxford University Press ISBN 0 19 505316 8 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teoriya serednogo polya amp oldid 36719719