www.wikidata.uk-ua.nina.az

Теорема Ерроу Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності Будь ласка допоможіть удо

Теорема Ерроу

Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки.
Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (грудень 2019)

Теорема Ерроу (також відома як «Парадокс Ерроу», англ. Arrow's paradox) — теорема про неможливість «колективного вибору». Сформульована американським економістом Кеннетом Ерроу в 1951 році.

Кеннет Ерроу

Зміст цієї теореми полягає в тому, що в рамках ординалістського підходу не існує методу об'єднання індивідуальних вподобань для трьох чи більше альтернатив, який задовольняв би деякі повністю справедливі умови та завжди давав би логічно несуперечливий результат.

Ординалістський підхід базується на тому, що вподобання індивідуума відносно запропонованих для вибору альтернатив не можуть вимірятись кількісно, а тільки якісно, тобто одна альтернатива краща чи гірша за іншу.

У рамках кардиналістського підходу, що пропонує кількісне вимірювання вподобань, теорема Ерроу в загальному випадку не працює.

Формулювання Редагувати

Формулювання 1951 року Редагувати

Нехай є N≥2 виборців, які голосують за n≥3 кандидатів (в термінах теорії прийняття рішень кандидатів прийнято називати 'альтернативами' ). У кожного виборця є упорядкований список альтернатив. Система виборів - функція, що перетворює набір з N таких списків (профіль голосування) до загального упорядкованого списку.

Система виборів може мати такі властивості:

Для N≥2 і n≥3 не існує системи голосування, яка відповідає всім п'яти умовам.

Формулювання 1963 року Редагувати

У формулюванні 1963 року умови Ерроу такі:

Для N≥2 і n≥3 не існує системи голосування, яка відповідає всім чотирьом умовам.

Доказ теореми Ерроу Редагувати

  •  — множина випадків, які кожен агент ранжує відповідно до своїх уподобань.
  •  — лінійний порядок вподобань -го агента на множині заданий відношенням .
  •  — профіль вподобань (кортеж, елементами якого є переваги всіх агентів).
  •  — функція суспільного добробуту.
  •  — колективні вподобання.

Дамо формальні визначення:

  • Парето-ефективність: парето-ефективна, якщо для будь-яких випадків .
  • Незалежність від сторонніх альтернатив:  незалежна від сторонніх альтернатив, якщо для будь-яких випадків  і для будь-яких двох профілів вподобань і .
  • Відсутність диктатора: вважаємо, що для відсутній диктатор, якщо не існує такого , що .
  • Теорема Ерроу: якщо , то будь-яка Парето-ефективна, незалежна від сторонніх альтернатив функція суспільного добробуту має диктатора.

Доказ проведемо в 4 етапи.

Візьмемо довільний профіль такий, що в ньому для всіх агентів результат знаходиться або зверху, або знизу списку вподобань . Тепер припустимо, що наше твердження неправильне, тобто існують такі , що и . Тоді змінимо профіль так, щоб для всіх агентів виконувалось , не змінюючи при цьому ранжування інших результатів. Позначимо отриманий профіль . Так як після такої модифікації результат b для кожного агента все одно залишиться або на найвищій, або на найнижчій позиції в списку його переваг, то з незалежності W від сторонніх альтернатив можна зробити висновок, що і в новому профілі і . Отже, в силу транзитивності отримаємо . Але ми припустили, що для всіх агентів , тоді в силу Парето-ефективності повинно бути . Отримане протиріччя доводить твердження.

Розглянемо будь-який профіль переваг, у якому все агенти розташували результат унизу свого списка вподобань . Зрозуміло, що і в результат знаходиться на найнижчій позиції (в силу Парето-ефективності). Нехай все агенти почали по черзі переставляти результат з найнижчої на найвищу позицію в своїх списках переваг, не змінюючи при цьому ранжування інших результатів. Коли все агенти поставлять результат першим в своєму списку переваг, він буде першим і для . Таким чином, у якийсь момент зміниться. Нехай  — агент, який, переставив таким чином , змінив (уперше). позначимо  — профіль переваг як раз до того, як переміщень , а  — профіль переваг відразу ж після того, як перемістив . Таким чином, в результат змінив позицію в , при цьому для всіх агентів знаходиться або на самому верхньому, або на найнижчій позиції . Отже, в силу твердження, доведеного на Етапі 1, в результат займає найвищу позицію.

Виберемо з пари будь-який елемент. Без втрати спільності, виберемо a. Далі з профілю побудуємо наступним чином: в ,перемістимо результат a на першу позицію, залишивши інше ранжування незмінним; довільним чином для всіх інших агентів поміняємо місцями один з одним і . Тоді, як і в отримаємо, що (В силу незалежності від сторонніх альтернатив) і, як і в отримаємо, що . Тоді . Тепер побудуємо профіль переваг наступним чином: для всіх агентів помістимо результат на довільну позицію в списку вподобань , для агента помістимо результат в довільну позицію до результату . Зрозуміло, що в силу незалежності від сторонніх альтернатив . Ми отримали, що всі агенті, крім мають абсолютно довільні профілі вподобань, а результат вийшов виходячи тільки лише з припущення, що .

Розглянемо який-небудь результат с. В силу Етапу 2 існує деякий центральний агент для цього результату, він же є диктатором для всіх пар , де, зокрема, . Якби агент був диктатором над , ніяка заміна переваг агента не могла б поміняти ранжування і в . Але на Етапі 2 агент переставив з останнього місця на перше в , і таким чином був зобов'язаний поміняти місцями і . Отже, можна зробити висновок, що Зівпадає з , тобто і є диктатором.

Доказ завершено.

Див. також Редагувати

  • Парадокс Кондорсе — парадокс виборів, узагальненням якого стала теорема Ерроу.
  • Колективний вибір і індивідуальні цінності

Посилання Редагувати

Примітки Редагувати

  1. Kenneth J. Arrow, 1951, 2nd ed., 1963. Social Choice and Individual Values, Yale University Press. ISBN 0-300-01364-7
  2. Cardinal Voting: The Way to Escape the Social Choice Impossibility (англ.)
  3. The Possibility of Social Choice, p.189 (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya potrebuye dodatkovih posilan na dzherela dlya polipshennya yiyi perevirnosti Bud laska dopomozhit udoskonaliti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno gruden 2019 Teorema Errou takozh vidoma yak Paradoks Errou angl Arrow s paradox teorema pro nemozhlivist kolektivnogo viboru Sformulovana amerikanskim ekonomistom Kennetom Errou v 1951 roci 1 Kennet ErrouZmist ciyeyi teoremi polyagaye v tomu sho v ramkah ordinalistskogo pidhodu ne isnuye metodu ob yednannya individualnih vpodoban dlya troh chi bilshe alternativ yakij zadovolnyav bi deyaki povnistyu spravedlivi umovi ta zavzhdi davav bi logichno nesuperechlivij rezultat Ordinalistskij pidhid bazuyetsya na tomu sho vpodobannya individuuma vidnosno zaproponovanih dlya viboru alternativ ne mozhut vimiryatis kilkisno a tilki yakisno tobto odna alternativa krasha chi girsha za inshu U ramkah kardinalistskogo pidhodu sho proponuye kilkisne vimiryuvannya vpodoban teorema Errou v zagalnomu vipadku ne pracyuye 2 3 Zmist 1 Formulyuvannya 1 1 Formulyuvannya 1951 roku 1 2 Formulyuvannya 1963 roku 2 Dokaz teoremi Errou 3 Div takozh 4 Posilannya 5 PrimitkiFormulyuvannya RedaguvatiFormulyuvannya 1951 roku Redaguvati Nehaj ye N 2 viborciv yaki golosuyut za n 3 kandidativ v terminah teoriyi prijnyattya rishen kandidativ prijnyato nazivati alternativami U kozhnogo viborcya ye uporyadkovanij spisok alternativ Sistema viboriv funkciya sho peretvoryuye nabir z N takih spiskiv profil golosuvannya do zagalnogo uporyadkovanogo spisku Sistema viboriv mozhe mati taki vlastivosti Universalnist Dlya bud yakogo profilyu golosuvannya isnuye rezultat vporyadkovanij spisok z n alternativ Povnota Sistema golosuvannya mozhe davati yak rezultat usi n perestanovok alternativ Monotonnist Yaksho u vsih N spiskah deyaka alternativa x zalishitsya na misci abo pidnimetsya vishe a poryadok inshih ne zminitsya v zagalnomu spisku x povinen zalishitisya na misci abo pidnyatisya Vidsutnist diktator a Nemaye viborcya perevagu yakogo viznachav bi rezultat viboriv nezalezhno vid upodoban inshih viborciv Nezalezhnist vid storonnih alternativ Yaksho profil golosuvannya zminitsya tak sho alternativi x i y u vsih N spiskah zalishatsya v tomu zh poryadku to ne zminitsya yih poryadok i v ostatochnomu rezultati Dlya N 2 i n 3 ne isnuye sistemi golosuvannya yaka vidpovidaye vsim p yati umovam Formulyuvannya 1963 roku Redaguvati U formulyuvanni 1963 roku umovi Errou taki universalnist Vidsutnist diktatora Nezalezhnist vid storonnih alternativ Optimum Pareto abo princip odnogolosnosti yaksho u kozhnogo viborcya alternativa x v spisku stoyit vishe y ce zh maye buti i v ostatochnomu rezultati Dlya N 2 i n 3 ne isnuye sistemi golosuvannya yaka vidpovidaye vsim chotirom umovam Dokaz teoremi Errou RedaguvatiO displaystyle O nbsp mnozhina vipadkiv yaki kozhen agent ranzhuye vidpovidno do svoyih upodoban L i displaystyle L i nbsp linijnij poryadok vpodoban i displaystyle i nbsp go agenta na mnozhini O displaystyle O nbsp zadanij vidnoshennyam i displaystyle succ i nbsp displaystyle succ nbsp profil vpodoban kortezh elementami yakogo ye perevagi vsih agentiv W L N L W displaystyle W L N to L W nbsp funkciya suspilnogo dobrobutu W displaystyle succ W nbsp kolektivni vpodobannya Damo formalni viznachennya Pareto efektivnist W displaystyle W nbsp pareto efektivna yaksho dlya bud yakih vipadkiv o 1 o 2 O i o 1 i o 2 o 1 W o 2 displaystyle o 1 o 2 in O forall i o 1 succ i o 2 Rightarrow o 1 succ W o 2 nbsp Nezalezhnist vid storonnih alternativ W displaystyle W nbsp nezalezhna vid storonnih alternativ yaksho dlya bud yakih vipadkiv o 1 o 2 O displaystyle o 1 o 2 in O nbsp i dlya bud yakih dvoh profiliv vpodoban displaystyle succ nbsp i L n i o 1 i o 2 o 1 i o 2 o 1 W o 2 0 1 W o 2 displaystyle succ in L n forall i o 1 succ i o 2 Leftrightarrow o 1 succ i o 2 Rightarrow o 1 succ W succ o 2 Leftrightarrow 0 1 succ W succ o 2 nbsp Vidsutnist diktatora vvazhayemo sho dlya W displaystyle W nbsp vidsutnij diktator yaksho ne isnuye takogo i displaystyle i nbsp sho o 1 o 2 O o 1 i o 2 o 1 W o 2 displaystyle forall o 1 o 2 in O o 1 succ i o 2 Rightarrow o 1 succ W o 2 nbsp Teorema Errou yaksho O 3 displaystyle O geq 3 nbsp to bud yaka Pareto efektivna nezalezhna vid storonnih alternativ funkciya suspilnogo dobrobutu W displaystyle W nbsp maye diktatora Dokaz provedemo v 4 etapi Etap 1 Yaksho kozhen agent rozmishuye rezultat b displaystyle b nbsp nagoru abo do samogo nizu svogo spisku perevag pri comu ne potribno shob vse agenti diyali odnakovo to i v W displaystyle succ W nbsp rezultat b displaystyle b nbsp tezh bude abo vgori abo vnizu spisku Vizmemo dovilnij profil displaystyle succ nbsp takij sho v nomu dlya vsih agentiv i displaystyle i nbsp rezultat b displaystyle b nbsp znahoditsya abo zverhu abo znizu spisku vpodoban i displaystyle succ i nbsp Teper pripustimo sho nashe tverdzhennya nepravilne tobto isnuyut taki a c O displaystyle a c in O nbsp sho a W b displaystyle a succ W b nbsp i b W c displaystyle b succ W c nbsp Todi zminimo profil displaystyle succ nbsp tak shob dlya vsih agentiv vikonuvalos c i a displaystyle c succ i a nbsp ne zminyuyuchi pri comu ranzhuvannya inshih rezultativ Poznachimo otrimanij profil displaystyle succ nbsp Tak yak pislya takoyi modifikaciyi rezultat b dlya kozhnogo agenta vse odno zalishitsya abo na najvishij abo na najnizhchij poziciyi v spisku jogo perevag to z nezalezhnosti W vid storonnih alternativ mozhna zrobiti visnovok sho i v novomu profili a W b displaystyle a succ W b nbsp i b W c displaystyle b succ W c nbsp Otzhe v silu tranzitivnosti W displaystyle succ W nbsp otrimayemo a W c displaystyle a succ W c nbsp Ale mi pripustili sho dlya vsih agentiv c i a displaystyle c succ i a nbsp todi v silu Pareto efektivnosti povinno buti c W a displaystyle c succ W a nbsp Otrimane protirichchya dovodit tverdzhennya Etap 2 Dlya bud yakogo rezultatu b displaystyle b nbsp isnuye agent yakij ye centralnim u tomu sensi sho zminivshi svij golos vin mozhe peremistiti rezultat b displaystyle b nbsp z najnizhchoyi poziciyi v spisku W displaystyle succ W nbsp do najvishoyi Inshimi slovami znajdutsya dva profili 1 displaystyle succ 1 nbsp i 2 displaystyle succ 2 nbsp sho vidriznyayutsya tilki vpodobannyami agenta i displaystyle i nbsp sho b displaystyle b nbsp znahoditsya v kinci spisku dlya W 1 displaystyle succ W 1 nbsp i na pochatku spisku dlya W 2 displaystyle succ W 2 nbsp Rozglyanemo bud yakij profil perevag u yakomu vse agenti roztashuvali rezultat b displaystyle b nbsp unizu svogo spiska vpodoban i displaystyle succ i nbsp Zrozumilo sho i v W displaystyle succ W nbsp rezultat b displaystyle b nbsp znahoditsya na najnizhchij poziciyi v silu Pareto efektivnosti Nehaj vse agenti pochali po cherzi perestavlyati rezultat b displaystyle b nbsp z najnizhchoyi na najvishu poziciyu v svoyih spiskah perevag ne zminyuyuchi pri comu ranzhuvannya inshih rezultativ Koli vse agenti postavlyat rezultat b displaystyle b nbsp pershim v svoyemu spisku perevag vin bude pershim i dlya W displaystyle succ W nbsp Takim chinom u yakijs moment W displaystyle succ W nbsp zminitsya Nehaj n displaystyle n nbsp agent yakij perestaviv takim chinom b displaystyle b nbsp zminiv W displaystyle succ W nbsp upershe poznachimo 1 displaystyle succ 1 nbsp profil perevag yak raz do togo yak n displaystyle n nbsp peremishen b displaystyle b nbsp a 2 displaystyle succ 2 nbsp profil perevag vidrazu zh pislya togo yak n displaystyle n nbsp peremistiv b displaystyle b nbsp Takim chinom v 2 displaystyle succ 2 nbsp rezultat b displaystyle b nbsp zminiv poziciyu v W displaystyle succ W nbsp pri comu dlya vsih agentiv b displaystyle b nbsp znahoditsya abo na samomu verhnomu abo na najnizhchij poziciyi i displaystyle succ i nbsp Otzhe v silu tverdzhennya dovedenogo na Etapi 1 v W displaystyle succ W nbsp rezultat b displaystyle b nbsp zajmaye najvishu poziciyu Etap 3 n displaystyle n nbsp diktator nad usima parami lt a c gt displaystyle lt a c gt nbsp sho ne vklyuchaye v sebe b displaystyle b nbsp Viberemo z pari lt a c gt displaystyle lt a c gt nbsp bud yakij element Bez vtrati spilnosti viberemo a Dali z profilyu 2 displaystyle succ 2 nbsp pobuduyemo 3 displaystyle succ 3 nbsp nastupnim chinom v n displaystyle succ n nbsp peremistimo rezultat a na pershu poziciyu zalishivshi inshe ranzhuvannya nezminnim dovilnim chinom dlya vsih inshih agentiv pominyayemo miscyami odin z odnim a displaystyle a nbsp i c displaystyle c nbsp Todi yak i v 1 displaystyle succ 1 nbsp otrimayemo sho a W b displaystyle a succ W b nbsp V silu nezalezhnosti vid storonnih alternativ i yak i v 2 displaystyle succ 2 nbsp otrimayemo sho b W c displaystyle b succ W c nbsp Todi a W c displaystyle a succ W c nbsp Teper pobuduyemo profil perevag 4 displaystyle succ 4 nbsp nastupnim chinom dlya vsih agentiv pomistimo rezultat b displaystyle b nbsp na dovilnu poziciyu v spisku vpodoban i displaystyle succ i nbsp dlya agenta n displaystyle n nbsp pomistimo rezultat a displaystyle a nbsp v dovilnu poziciyu do rezultatu c displaystyle c nbsp Zrozumilo sho v silu nezalezhnosti vid storonnih alternativ a W c displaystyle a succ W c nbsp Mi otrimali sho vsi agenti krim n displaystyle n nbsp mayut absolyutno dovilni profili vpodoban a rezultat a W c displaystyle a succ W c nbsp vijshov vihodyachi tilki lishe z pripushennya sho a n c displaystyle a succ n c nbsp Etap 4 n displaystyle n nbsp diktator nad usima parami lt a b gt displaystyle lt a b gt nbsp Rozglyanemo yakij nebud rezultat s V silu Etapu 2 isnuye deyakij centralnij agent n displaystyle n nbsp dlya cogo rezultatu vin zhe ye diktatorom dlya vsih par lt A B gt displaystyle lt A B gt nbsp de zokrema A a B b displaystyle A a B b nbsp Yakbi agent n n displaystyle n neq n nbsp buv diktatorom nad lt a b gt displaystyle lt a b gt nbsp niyaka zamina perevag agenta n displaystyle n nbsp ne mogla b pominyati ranzhuvannya a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp v W displaystyle succ W nbsp Ale na Etapi 2 agent n displaystyle n nbsp perestaviv b displaystyle b nbsp z ostannogo miscya na pershe v W displaystyle succ W nbsp i takim chinom buv zobov yazanij pominyati miscyami a displaystyle a nbsp i b displaystyle b nbsp Otzhe mozhna zrobiti visnovok sho n displaystyle n nbsp Zivpadaye z n displaystyle n nbsp tobto n displaystyle n nbsp i ye diktatorom Dokaz zaversheno Div takozh RedaguvatiParadoks Kondorse paradoks viboriv uzagalnennyam yakogo stala teorema Errou Kolektivnij vibir i individualni cinnostiPosilannya RedaguvatiTeorema o nevozmozhnosti v zadache proporcionalnogo predstavitelstva Kardinalistskoe golosovanie Put preodoleniya paradoksov socialnogo vyboraPrimitki Redaguvati Kenneth J Arrow 1951 2nd ed 1963 Social Choice and Individual Values Yale University Press ISBN 0 300 01364 7 Cardinal Voting The Way to Escape the Social Choice Impossibility angl The Possibility of Social Choice p 189 angl Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Teorema Errou amp oldid 40524008