У гідродинаміці, рівняння Озеєна описують потік в'язкої і нестисливої рідини при малих чисел Рейнольдса. Ці рівняння були сформулювавані Карлом Вільгельмом Озееном в 1910 році. Потік Озеєна являє собою поліпшений опис потоків, в порівнянні з потоком Стокса з (частковим) включенням конвективного прискорення.
Робота Озеєна базується на експериментах Джорджа Габрієля Стокса, який вивчав падіння сфери у в'язкій рідині. Він розробив корекційні терміни, які включають інерційні фактори, для швидкості потоку, які використовується в розрахунках Стокса, щоб розв'язати проблему, відому як парадокс Стокса.
Рівняння
Рівняння Озеєна описують рух об'єкта разом з потоком, який має постійну швидкість U, у певній системі відліку:
де
- u — збурення в швидкості потоку, викликані рухомим об'єктом, тобто загальна швидкість потоку в системі відліку, що рухається з об'єктом: –U+u,
- р — тиск,
- ρ — густина рідини,
- μ — динамічна в'язкість,
- ∇ — градієнтний оператор,
- ∇2 — оператор Лапласа.
Граничні умови для потоку Озеєна навколо твердого об'єкта:
де r — відстань від центру об'єкта і p∞ — тиск, джерело якого знаходиться далеко від об'єкта.
Поздовжні і поперечні хвилі
Фундаментальна властивість рівнянь Озеєна полягає в тому, що загальний розв'язок можна розділити на поздовжні і поперечні хвилі.
Розв'язок — це поздовжня хвиля. Якщо швидкість є невіхровою і, отже, термін в'язкість випадає. Рівняння набувають вигляду
В результаті отримаємо
Швидкість є отриманою з теорії потенціалів, а тиск — лінеаризованого рівняння Бернуллі.
Розв'язок — це поперечня хвиля, якщо тиск є тотожний нулю і поле швидкостей є соленоїдальним. Рівняння набувають вигляду
Тоді загальний розв'язок рівняння Озеєна отримується
з теореми Лемба про розділення. Розділення є єдиним, якщо умови на нескінченності (наприклад, ) вказані.
Для деяких потоків Озеєна можна розділяти поперечні хвилі на безвіхрові і обертальні компоненти у вигляді . Нехай — скалярна функція, яка задовольняє і зникає на нескінченності і навпаки, нехай така, що , тоді поперечні хвилі матимуть вигляд
де визначається з та — одиничний вектор. Ні або не є поперечними самі по собі, але є поперечними. Тому
Єдиний компонент обертання тут — ..
Важливість
Методика і розробка аналізу потоку при дуже малому числі Рейнольдса є важливою. Повільний рух дрібних часток у рідині пов'язана з біо-інженерією. Потоки Озеєна можуть бути використані з потоками рідини при різних особливих умовах, таких як: вміст частинок, осадження частинок, центрифугування або ультрацентрифугування суспензій, колоїдів і крові через ізоляцію пухлини і антигенів. Флюїд не обов'язково повинен бути рідким, а частинки не обов'язково повинні бути твердими. Це може бути використано в ряді задач, таких як утворення смогу і розпилювання рідин.
Біо-інженерні задачі
Кровообіг в дрібних судинах, наприклад, в капілярах, характеризується невеликою величиною чисел Рейнольдса і Вомерслея. Для посудини, діаметром 10 µm з швидкістю потоку 1 millimetre/second, в'язкістю крові 0.02 poise, густиною до 1 g/cm3 і частотою серцевих скорочень до 2 Hz, число Рейнольдса матиме величину 0,005, а число Вомерслея — 0.0126. При малих числах Рейнольдса і Вомерслея, ефекти в'язкості рідини стають домінуючими. Розуміння руху цих частинок має важливе значення для доставки ліків і вивчення метастазних рухів ракових клітин.
Фундаментальний розв'язок
Замкнута форма фундаментального розв'язку для узагальнених нестаціонарних потоків Стокса і Озеєна, пов'язаних з довільними, залежними від часу поступальними і обертальними рухами, була виведена для Ньютонівських та мікрополярних рідин.
Використовуючи рівняння Озеєна, Горацій Лемб отримав покращені вирази для в'язкого обтікання сфери в 1911 році, що дозволило використовувати закон Стокса для більших чисел Рейнольдса. Також Лемб вперше отримав розв'язки для в'язкого обтікання круглого циліндра.
Розв'язок для сингулярної сили коли немає зовнішніх границь, може бути записаний як
Якщо , де — сингулярна сила, сконцентрована в точці , — довільна точка і — заданий вектор, який вказує напрямок, куди діє сила, то, через відсутність границь, густина і тиск отримуються з фундаментального тензора і фундаментального вектора
Тоді, якщо — довільна функція простору, то розв'язок для необмеженої області має вигляд
де — нескінченно мала область навколо точки .
Двовимірний простір
Не втрачаючи загальності, приймається за початок координат і . — якась точка. Тоді фундаментальний тензор і вектор мають вигляди
де
де — модифікована функція Бесселя другого роду нульового порядку.
Обчислення
Припускаємо, що сфера є стаціонарною і рідина тече зі швидкістю () на нескінченній відстані від сфери. Інерційні умови нехтуються в обчисленнях Стокса. Це обмежує розв'язок, коли число Рейнольдса прямує до нуля. Коли число Рейнольдса мале і скінченне, наприклад 0.1, потребується корекція інерційних умов. Озеєн наступні значення швидкості потоку в Рівняннях Нав'є-Стокса.
Підставляючи це в рівняння Нав'є-Стокса і нехтуючи квадратичними умовами в першій похідній, отримаємо апроксимацію Озеєна:
Оскільки рух є симетричним відносно осі та дивергенція вектора вихору завжди дорівнює нулю, отримується:
Функція може бути усунута, додаючи відповідну функцію вихору в і тому попередню функцію можна записати у вигляді:
і інтегрування розв'язку для має вигляд:
Нехай — "основний напрямок", тоді:
Використовуючи три граничні умови, одержуємо
Тоді новий покращений коефіцієнт аеродинамічного опору набуває вигляду:
Остаточний розв'язок рівняння Нав'є-Стокса базується на апроксимаціях Озеєна, який показує, що результуюча сила опору має вигляд
- де:
- — число Рейнольдса, яке має за основу радіус сфери,
- — гідродинамічна сила
- — швидкість потоку
- — радіус сфери
- — в'язкість рідини
Сила опору з рівняння Озеєна відрізняється від рівняння Стокса на коефіцієнт
Похибка у розв'язку Стокса
Рівняння Нав'є-Стокса має вигляд:
поле швидкостей:
Якщо >> 1, то сила опору в'язкої рідини переважає над останнім доданком. Тобто:
Доданок інерції переважає над доданком:
Похибка обчислюється як відношення:
Вона стає безмежною при , тому інерція не може бути проігнорована. Взявши ротор, рівняння Стокса дає Оскільки тіло є джерелом завихреності, стане необмежений логарифмічно для великих Це і називається парадоксом Стокса.
Розв'язок переміщення сфери в нестисливій рідині
Розглянемо випадок суцільної сфери, що рухається в нерухомій рідини з постійною швидкістю. Рідина моделюється як нестислива(тобто з постійною густиною), та стаціонарна, що означає, що її швидкість наближається до нуля в міру віддалення від сфери.
Таким чином, ми припускаємо, що сфера радіуса а рухається з постійною швидкістю у нестисливій рідини, яка спокійна на нескінченності. Ми будемо працювати в координатах які рухаються разом зі сферою з центром координат, що знаходиться в центрі сфери. У нас є:
З цими граничними умовами, а також рівнянням руху, час є інваріантним, коли виражається через ці координати і розв'язок залежить від часу лише тоді, коли перебуває в цих координатах.
Рівняння руху описується рівняннями Нав'є-Стокса, визначене в координатах . У той час як просторові похідні рівні в обох системах координат, похідна по часу, яка з'являється в рівняннях задовольняє:
де похідна перебуває у відношенні з рухомими координати .
Апроксимація Озеєна ігнорує нелінійний доданок в . Таким чином нестискувані рівняння Нав'є-Стокса приймають наступний вигляд:
для рідини, що має густину ρ і кінематичну в'язкість ν = μ/ρ (μ — динамічна в'язкость). р — тиск.
Через рівняння неперервності для нестисливої рідини , розв'язок може бути виражений через векторний потенціал . Виявляється, він повинен бути спрямовано до напрямку та його величина еквівалентна до функції потоку, що використовується в двовимірних задач. Виходить, що:
де — число Рейнольдса для потоку, близький до сфери.
Зауважимо, що в деяких системах координат замінюється на , так що отримання з є більш схоже на її виведення з функції потоку в двовимірному випадку (в полярних координатах).
Модифікації в апроксимаціях Озеєна
Термін корекції був вибраний не випадково, оскільки в системі координат, що рухається зі сферою, рідина, яка знаходиться біля сфери — майже спокійна, і в цій області інерційна сила є незначною і використання рівняння Стокса є цілком виправданим. На великій відстані від сфери, швидкість потоку збігається до u, що робить апроксимації Озеєна більш точними. Але рівняння Озеєна було отримано, застосувуючи рівняння для всього потоку поля. Цю проблему розв'язали Праудманаі Пірсон у 1957 році, які розв'язали рівняння Нав'є-Стокса і покращили розв'язок Стокса в околицях сфери та розв'язок Осеена на нескінченності. Вони мають вигляд:
Див. також
Примітки
- Batchelor (2000), §4.10, pp. 240–246.
- Lamb, Horace.
- Fung, (1997)
- Shu, Jian-Jun; Chwang, A.T. (2001). Generalized fundamental solutions for unsteady viscous flows. Physical Review E. 63 (5): 051201. arXiv:1403.3247. Bibcode:2001PhRvE..63e1201S. doi:10.1103/PhysRevE.63.051201.
- Shu, Jian-Jun; Lee, J.S. (2008). Fundamental solutions for micropolar fluids. Journal of Engineering Mathematics. 61 (1): 69—79. arXiv:1402.5023. Bibcode:2008JEnMa..61...69S. doi:10.1007/s10665-007-9160-8.
- Mei, (2011)
- Proudman та Pearson, (1957)
Посилання
- (1910), Über die Stokes'sche formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik, Arkiv för matematik, astronomi och fysik, vi (29)
- (2000), An introduction to fluid dynamics, Cambridge Mathematical Library (вид. second paperback), Cambridge University Press, ISBN , MR 1744638
- Fung, Yuan-cheng (1997), Biomechanics: Circulation (вид. 2nd), New York, NY: Springer-Verlag
- (4 квітня 2011), Oseen's improvement for slow flow past a body (pdf), Advanced Environmental Fluid Mechanics, Web.Mit.edu, процитовано 28 лютого 2013
- Proudman, I.; Pearson, J.R.A. (1957), Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere and a circular cylinder, Journal of Fluid Mechanics, 2 (3): 237—262, Bibcode:1957JFM.....2..237P, doi:10.1017/S0022112057000105
- Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р.) http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/savula.pdf
- Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника)http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/nmmf.pdf
На цю статтю не посилаються інші статті Вікіпедії. Будь ласка розставте посилання відповідно до . |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U gidrodinamici rivnyannya Ozeyena opisuyut potik v yazkoyi i nestislivoyi ridini pri malih chisel Rejnoldsa Ci rivnyannya buli sformulyuvavani Karlom Vilgelmom Ozeenom v 1910 roci Potik Ozeyena yavlyaye soboyu polipshenij opis potokiv v porivnyanni z potokom Stoksa z chastkovim vklyuchennyam konvektivnogo priskorennya Robota Ozeyena bazuyetsya na eksperimentah Dzhordzha Gabriyelya Stoksa yakij vivchav padinnya sferi u v yazkij ridini Vin rozrobiv korekcijni termini yaki vklyuchayut inercijni faktori dlya shvidkosti potoku yaki vikoristovuyetsya v rozrahunkah Stoksa shob rozv yazati problemu vidomu yak paradoks Stoksa RivnyannyaRivnyannya Ozeyena opisuyut ruh ob yekta razom z potokom yakij maye postijnu shvidkist U u pevnij sistemi vidliku r U u p m 2 u u 0 displaystyle begin aligned rho mathbf U cdot nabla mathbf u amp nabla p mu nabla 2 mathbf u nabla cdot mathbf u amp 0 end aligned de u zburennya v shvidkosti potoku viklikani ruhomim ob yektom tobto zagalna shvidkist potoku v sistemi vidliku sho ruhayetsya z ob yektom U u r tisk r gustina ridini m dinamichna v yazkist gradiyentnij operator 2 operator Laplasa Granichni umovi dlya potoku Ozeyena navkolo tverdogo ob yekta u U at the object surface u 0 and p p for r displaystyle begin aligned mathbf u amp mathbf U amp amp text at the object surface mathbf u amp to 0 amp amp text and quad p to p infty quad text for quad r to infty end aligned de r vidstan vid centru ob yekta i p tisk dzherelo yakogo znahoditsya daleko vid ob yekta Pozdovzhni i poperechni hviliFundamentalna vlastivist rivnyan Ozeyena polyagaye v tomu sho zagalnij rozv yazok mozhna rozdiliti na pozdovzhni i poperechni hvili Rozv yazok u L p displaystyle mathbf u L p ce pozdovzhnya hvilya Yaksho shvidkist ye nevihrovoyu i otzhe termin v yazkist vipadaye Rivnyannya nabuvayut viglyadu u L t U u L x 1 r p 0 u L 0 u L 0 displaystyle mathbf u L t U mathbf u L x frac 1 rho nabla p 0 quad nabla cdot mathbf u L 0 quad nabla times mathbf u L 0 V rezultati otrimayemo u L ϕ 2 ϕ 0 p p p r U u L displaystyle mathbf u L nabla phi quad nabla 2 phi 0 quad p p p infty rho U mathbf u L Shvidkist ye otrimanoyu z teoriyi potencialiv a tisk linearizovanogo rivnyannya Bernulli Rozv yazok u T 0 displaystyle mathbf u T 0 ce poperechnya hvilya yaksho tisk p displaystyle p ye totozhnij nulyu i pole shvidkostej ye solenoyidalnim Rivnyannya nabuvayut viglyadu u T t U u T x n 2 u T u T 0 displaystyle mathbf u T t U mathbf u T x nu nabla 2 mathbf u T quad nabla cdot mathbf u T 0 Todi zagalnij rozv yazok rivnyannya Ozeyena otrimuyetsya u u L u T displaystyle mathbf u mathbf u L mathbf u T z teoremi Lemba pro rozdilennya Rozdilennya ye yedinim yaksho umovi na neskinchennosti napriklad u 0 p p displaystyle mathbf u 0 p p infty vkazani Dlya deyakih potokiv Ozeyena mozhna rozdilyati poperechni hvili na bezvihrovi i obertalni komponenti u viglyadi u T u 1 u 2 displaystyle mathbf u T mathbf u 1 mathbf u 2 Nehaj x displaystyle chi skalyarna funkciya yaka zadovolnyaye x displaystyle chi i znikaye na neskinchennosti i navpaki nehaj u T u T v T displaystyle mathbf u T u T v T taka sho v T d y 0 displaystyle int infty infty v T dy 0 todi poperechni hvili matimut viglyad u T n U x x i u 1 n U x u 2 x i displaystyle mathbf u T frac nu U nabla chi chi mathbf i quad mathbf u 1 frac nu U nabla chi quad mathbf u 2 chi mathbf i de x displaystyle chi viznachayetsya z x U n y v T d y displaystyle chi frac U nu int y infty v T dy ta i displaystyle mathbf i odinichnij vektor Ni u 1 displaystyle mathbf u 1 abo u 2 displaystyle mathbf u 2 ne ye poperechnimi sami po sobi ale u 1 u 2 displaystyle mathbf u 1 mathbf u 2 ye poperechnimi Tomu u u L u T u L u 1 u 2 displaystyle mathbf u mathbf u L mathbf u T mathbf u L mathbf u 1 mathbf u 2 Yedinij komponent obertannya tut u 2 displaystyle mathbf u 2 VazhlivistMetodika i rozrobka analizu potoku pri duzhe malomu chisli Rejnoldsa ye vazhlivoyu Povilnij ruh dribnih chastok u ridini pov yazana z bio inzheneriyeyu Potoki Ozeyena mozhut buti vikoristani z potokami ridini pri riznih osoblivih umovah takih yak vmist chastinok osadzhennya chastinok centrifuguvannya abo ultracentrifuguvannya suspenzij koloyidiv i krovi cherez izolyaciyu puhlini i antigeniv Flyuyid ne obov yazkovo povinen buti ridkim a chastinki ne obov yazkovo povinni buti tverdimi Ce mozhe buti vikoristano v ryadi zadach takih yak utvorennya smogu i rozpilyuvannya ridin Bio inzhenerni zadachiKrovoobig v dribnih sudinah napriklad v kapilyarah harakterizuyetsya nevelikoyu velichinoyu chisel Rejnoldsa i Vomersleya Dlya posudini diametrom 10 µm z shvidkistyu potoku 1 millimetre second v yazkistyu krovi 0 02 poise gustinoyu do 1 g cm3 i chastotoyu sercevih skorochen do 2 Hz chislo Rejnoldsa matime velichinu 0 005 a chislo Vomersleya 0 0126 Pri malih chislah Rejnoldsa i Vomersleya efekti v yazkosti ridini stayut dominuyuchimi Rozuminnya ruhu cih chastinok maye vazhlive znachennya dlya dostavki likiv i vivchennya metastaznih ruhiv rakovih klitin Fundamentalnij rozv yazokZamknuta forma fundamentalnogo rozv yazku dlya uzagalnenih nestacionarnih potokiv Stoksa i Ozeyena pov yazanih z dovilnimi zalezhnimi vid chasu postupalnimi i obertalnimi ruhami bula vivedena dlya Nyutonivskih ta mikropolyarnih ridin Vikoristovuyuchi rivnyannya Ozeyena Goracij Lemb otrimav pokrasheni virazi dlya v yazkogo obtikannya sferi v 1911 roci sho dozvolilo vikoristovuvati zakon Stoksa dlya bilshih chisel Rejnoldsa Takozh Lemb vpershe otrimav rozv yazki dlya v yazkogo obtikannya kruglogo cilindra Rozv yazok dlya singulyarnoyi sili f displaystyle mathbf f koli nemaye zovnishnih granic mozhe buti zapisanij yak U u x 1 r p n 2 u f u 0 displaystyle U mathbf u x frac 1 rho nabla p nu nabla 2 mathbf u mathbf f quad nabla cdot mathbf u 0 Yaksho f d q q o a displaystyle mathbf f delta q q o mathbf a de d q q o displaystyle delta q q o singulyarna sila skoncentrovana v tochci q o displaystyle q o q displaystyle q dovilna tochka i a displaystyle mathbf a zadanij vektor yakij vkazuye napryamok kudi diye sila to cherez vidsutnist granic gustina i tisk otrimuyutsya z fundamentalnogo tenzora G q q o displaystyle Gamma q q o i fundamentalnogo vektora P q q o displaystyle Pi q q o u q G q q o a p p p P q q o a displaystyle mathbf u q Gamma q q o mathbf a quad p p p infty Pi q q o cdot mathbf a Todi yaksho f displaystyle mathbf f dovilna funkciya prostoru to rozv yazok dlya neobmezhenoyi oblasti maye viglyad u q G q q o f q o d q o p q P q q o f q o d q o displaystyle mathbf u q int Gamma q q o mathbf f q o dq o quad p q int Pi q q o cdot mathbf f q o dq o de d q o displaystyle dq o neskinchenno mala oblast navkolo tochki q o displaystyle q o Dvovimirnij prostir Ne vtrachayuchi zagalnosti q o 0 0 displaystyle q o 0 0 prijmayetsya za pochatok koordinat i q x y displaystyle q x y yakas tochka Todi fundamentalnij tenzor i vektor mayut viglyadi G A x A y A y A x 1 2 p n e l x K o l r 1 0 0 0 P r 2 p ln r displaystyle Gamma begin pmatrix frac partial A partial x amp frac partial A partial y frac partial A partial y amp frac partial A partial x end pmatrix frac 1 2 pi nu e lambda x K o lambda r begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 0 end pmatrix quad Pi frac rho 2 pi nabla ln r de l U 2 n r 2 x 2 y 2 A 1 2 p U ln r K o l r displaystyle lambda frac U 2 nu quad r 2 x 2 y 2 quad A frac 1 2 pi U ln r K o lambda r de K o l r displaystyle K o lambda r modifikovana funkciya Besselya drugogo rodu nulovogo poryadku ObchislennyaPripuskayemo sho sfera ye stacionarnoyu i ridina teche zi shvidkistyu U displaystyle U na neskinchennij vidstani vid sferi Inercijni umovi nehtuyutsya v obchislennyah Stoksa Ce obmezhuye rozv yazok koli chislo Rejnoldsa pryamuye do nulya Koli chislo Rejnoldsa male i skinchenne napriklad 0 1 potrebuyetsya korekciya inercijnih umov Ozeyen nastupni znachennya shvidkosti potoku v Rivnyannyah Nav ye Stoksa u 1 u u 1 u 2 u 2 u 3 u 3 displaystyle u 1 u u 1 qquad u 2 u 2 qquad u 3 u 3 Pidstavlyayuchi ce v rivnyannya Nav ye Stoksa i nehtuyuchi kvadratichnimi umovami v pershij pohidnij otrimayemo aproksimaciyu Ozeyena u u 1 x 1 1 r p x 1 n 2 u i i 1 2 3 displaystyle u partial u 1 over partial x 1 1 over rho partial p over partial x 1 nu nabla 2 u i qquad left i 1 2 3 right Oskilki ruh ye simetrichnim vidnosno osi x displaystyle x ta divergenciya vektora vihoru zavzhdi dorivnyuye nulyu otrimuyetsya 2 U 2 v x x G x 0 displaystyle left nabla 2 U over 2v partial over partial x right chi G x 0 Funkciya G x displaystyle G x mozhe buti usunuta dodayuchi vidpovidnu funkciyu vihoru v x displaystyle x i tomu poperednyu funkciyu mozhna zapisati u viglyadi U v u x 2 u displaystyle U over v partial u over partial x nabla 2 u i integruvannya rozv yazku dlya x displaystyle chi maye viglyad e U x 2 v x C e U R e 2 v R e displaystyle e Ux over 2v chi Ce URe over 2v over Re Nehaj x displaystyle x osnovnij napryamok todi f A 0 R e A 1 x 1 R e A 2 2 x 2 1 R e displaystyle varphi A 0 over Re A 1 partial over partial x 1 over Re A 2 partial 2 over partial x 2 1 over Re ldots Vikoristovuyuchi tri granichni umovi oderzhuyemo C 3 2 U a A 0 3 2 v a A 1 1 4 U a 3 etc displaystyle C 3 over 2 Ua A 0 3 over 2 va A 1 1 over 4 Ua 3 text etc Todi novij pokrashenij koeficiyent aerodinamichnogo oporu nabuvaye viglyadu C d 12 R e 1 3 8 R e displaystyle C d 12 over Re left 1 3 over 8 Re right Ostatochnij rozv yazok rivnyannya Nav ye Stoksa bazuyetsya na aproksimaciyah Ozeyena yakij pokazuye sho rezultuyucha sila oporu maye viglyad F 6 p m a u 1 3 8 R e displaystyle F 6 pi mu au left 1 3 over 8 Re right de R e displaystyle Re chislo Rejnoldsa yake maye za osnovu radius sferi N R r u a m displaystyle N R rho ua mu F displaystyle F gidrodinamichna sila u displaystyle u shvidkist potoku a displaystyle a radius sferi m displaystyle mu v yazkist ridini Sila oporu z rivnyannya Ozeyena vidriznyayetsya vid rivnyannya Stoksa na koeficiyent 1 3 8 R e displaystyle 1 left 3 over 8 right Re Pohibka u rozv yazku StoksaRivnyannya Nav ye Stoksa maye viglyad u 0 displaystyle triangledown u 0 u u p n 2 u displaystyle u triangledown u triangledown p nu triangledown 2 u pole shvidkostej u y u cos 8 1 a 3 2 r 3 3 a 2 r displaystyle u y u cos theta left 1 a 3 over 2r 3 3a over 2r right u z u sin 8 1 a 3 4 r 3 3 a 4 r displaystyle u z u sin theta left 1 a 3 over 4r 3 3a over 4r right Yaksho r a displaystyle r over a gt gt 1 to sila oporu v yazkoyi ridini perevazhaye nad ostannim dodankom Tobto 2 u O a 3 r 3 displaystyle triangledown 2 u O left a 3 over r 3 right Dodanok inerciyi perevazhaye nad dodankom u u z 1 O a 2 r 2 displaystyle u partial u over partial z 1 sim O left a 2 over r 2 right Pohibka obchislyuyetsya yak vidnoshennya u u z 1 n 2 u O r a displaystyle u partial u over partial z 1 over nu triangledown 2 u O left r over a right Vona staye bezmezhnoyu pri r a 1 displaystyle r over a gg 1 tomu inerciya ne mozhe buti proignorovana Vzyavshi rotor rivnyannya Stoksa daye 2 z 0 displaystyle triangledown 2 zeta 0 Oskilki tilo ye dzherelom zavihrenosti z displaystyle zeta stane neobmezhenij logarifmichno dlya velikih r a displaystyle r over a Ce i nazivayetsya paradoksom Stoksa Rozv yazok peremishennya sferi v nestislivij ridiniRozglyanemo vipadok sucilnoyi sferi sho ruhayetsya v neruhomij ridini z postijnoyu shvidkistyu Ridina modelyuyetsya yak nestisliva tobto z postijnoyu gustinoyu ta stacionarna sho oznachaye sho yiyi shvidkist nablizhayetsya do nulya v miru viddalennya vid sferi Takim chinom mi pripuskayemo sho sfera radiusa a ruhayetsya z postijnoyu shvidkistyu U displaystyle vec U u nestislivij ridini yaka spokijna na neskinchennosti Mi budemo pracyuvati v koordinatah x m displaystyle vec x m yaki ruhayutsya razom zi sferoyu z centrom koordinat sho znahoditsya v centri sferi U nas ye u x m a U displaystyle vec u vec x m a vec U u x m 0 displaystyle vec u vec x m rightarrow infty rightarrow 0 Z cimi granichnimi umovami a takozh rivnyannyam ruhu chas ye invariantnim koli virazhayetsya cherez ci koordinati t t D t displaystyle t rightarrow t Delta t i rozv yazok zalezhit vid chasu lishe todi koli perebuvaye v cih koordinatah Rivnyannya ruhu opisuyetsya rivnyannyami Nav ye Stoksa viznachene v koordinatah x x m U t displaystyle vec x vec x m vec U cdot t U toj chas yak prostorovi pohidni rivni v oboh sistemah koordinat pohidna po chasu yaka z yavlyayetsya v rivnyannyah zadovolnyaye u x t t i d x m i d t u x m x m i U m u displaystyle frac partial vec u vec x t partial t sum i frac d x m i dt frac partial vec u vec x m partial x m i vec U cdot vec nabla m vec u de pohidna m displaystyle vec nabla m perebuvaye u vidnoshenni z ruhomimi koordinati x m displaystyle vec x m Aproksimaciya Ozeyena ignoruye nelinijnij dodanok v u displaystyle vec u Takim chinom nestiskuvani rivnyannya Nav ye Stoksa prijmayut nastupnij viglyad U u n 2 u 1 r p displaystyle vec U cdot vec nabla vec u nu nabla 2 vec u frac 1 rho vec nabla p dlya ridini sho maye gustinu r i kinematichnu v yazkist n m r m dinamichna v yazkost r tisk Cherez rivnyannya neperervnosti dlya nestislivoyi ridini u 0 displaystyle vec nabla cdot vec u 0 rozv yazok mozhe buti virazhenij cherez vektornij potencial ps displaystyle vec psi Viyavlyayetsya vin povinen buti spryamovano do napryamku f displaystyle vec varphi ta jogo velichina ekvivalentna do funkciyi potoku sho vikoristovuyetsya v dvovimirnih zadach Vihodit sho ps U a 2 a 4 r 2 sin 8 3 1 cos 8 r sin 8 1 e R r 4 a 1 cos 8 R displaystyle psi Ua 2 left frac a 4r 2 sin theta 3 frac 1 cos theta r sin theta frac 1 e frac Rr 4a 1 cos theta R right u ps f 1 r sin 8 8 ps sin 8 r 1 r r r ps 8 displaystyle vec u vec nabla times psi hat varphi frac 1 r sin theta frac partial partial theta left psi sin theta right hat r frac 1 r frac partial partial r left r psi right hat theta de R 2 a U n displaystyle R 2aU nu chislo Rejnoldsa dlya potoku blizkij do sferi Zauvazhimo sho v deyakih sistemah koordinat ps displaystyle psi zaminyuyetsya na PS ps r sin 8 displaystyle Psi psi cdot r sin theta tak sho otrimannya u displaystyle vec u z PS displaystyle Psi ye bilsh shozhe na yiyi vivedennya z funkciyi potoku v dvovimirnomu vipadku v polyarnih koordinatah Modifikaciyi v aproksimaciyah OzeyenaTermin korekciyi buv vibranij ne vipadkovo oskilki v sistemi koordinat sho ruhayetsya zi sferoyu ridina yaka znahoditsya bilya sferi majzhe spokijna i v cij oblasti inercijna sila ye neznachnoyu i vikoristannya rivnyannya Stoksa ye cilkom vipravdanim Na velikij vidstani vid sferi shvidkist potoku zbigayetsya do u sho robit aproksimaciyi Ozeyena bilsh tochnimi Ale rivnyannya Ozeyena bulo otrimano zastosuvuyuchi rivnyannya dlya vsogo potoku polya Cyu problemu rozv yazali Praudmanai Pirson u 1957 roci yaki rozv yazali rivnyannya Nav ye Stoksa i pokrashili rozv yazok Stoksa v okolicyah sferi ta rozv yazok Oseena na neskinchennosti Voni mayut viglyad F 6 p m a U 1 3 8 R e 9 40 N R 2 ln R e O R e 2 displaystyle F 6 pi mu aU left 1 3 over 8 Re 9 over 40 N R 2 ln Re mathcal O Re 2 right Div takozhRANSPrimitkiBatchelor 2000 4 10 pp 240 246 Lamb Horace Fung 1997 Shu Jian Jun Chwang A T 2001 Generalized fundamental solutions for unsteady viscous flows Physical Review E 63 5 051201 arXiv 1403 3247 Bibcode 2001PhRvE 63e1201S doi 10 1103 PhysRevE 63 051201 Shu Jian Jun Lee J S 2008 Fundamental solutions for micropolar fluids Journal of Engineering Mathematics 61 1 69 79 arXiv 1402 5023 Bibcode 2008JEnMa 61 69S doi 10 1007 s10665 007 9160 8 Mei 2011 Proudman ta Pearson 1957 Posilannya 1910 Uber die Stokes sche formel und uber eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik Arkiv for matematik astronomi och fysik vi 29 2000 An introduction to fluid dynamics Cambridge Mathematical Library vid second paperback Cambridge University Press ISBN 978 0 521 66396 0 MR 1744638 Fung Yuan cheng 1997 Biomechanics Circulation vid 2nd New York NY Springer Verlag 4 kvitnya 2011 Oseen s improvement for slow flow past a body pdf Advanced Environmental Fluid Mechanics Web Mit edu procitovano 28 lyutogo 2013 Proudman I Pearson J R A 1957 Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere and a circular cylinder Journal of Fluid Mechanics 2 3 237 262 Bibcode 1957JFM 2 237P doi 10 1017 S0022112057000105 Savula Ya Metod skinchennih elementiv okremi storinki posibnika 1993 r http old ami lnu edu ua books AMI savula pdf Shinkarenko G Chiselni metodi matematichnoyi fiziki okremi storinki chornovika posibnika http old ami lnu edu ua books AMI nmmf pdf Na cyu stattyu ne posilayutsya inshi statti Vikipediyi Bud laska rozstavte posilannya vidpovidno do prijnyatih rekomendacij