Розмірність Мінковського (англ. box-counting dimension) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює
Розмірність Мінковського | |
Названо на честь | d і Герман Мінковський |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | |
- ,
де — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину.
Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.
Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.
Приклади
- Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї не перевершує кількості елементів у ній.
- Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно відрізків довжини , щоб покрити відрізок довжини . Таким чином,
- ,
- Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю , необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною , становить приблизно .
- Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює .
Неформальне міркування, що показує це, є наступним. Відрізок можна розбити на 2 частини, подібні вихідному відрізку з коефіцієнтом 1/2. Щоб покрити відрізок множинами діаметром , потрібно покрити кожну з половин такими множинами. Але для половини їх потрібно стільки ж, скільки для всього відрізка множини діаметром . Тому для відрізка маємо . Тобто, при збільшенні удвічі збільшується теж удвічі. Іншими словами, — лінійна функція.
- Для квадрата аналогічне міркування дає . Тобто, при збільшенні удвічі збільшується в 4 рази. Іншими словами, - квадратична функція.
- Нарешті, крива Коха складається з 4 частин, кожна з яких подібна вихідній кривій з коефіцієнтом 1/3. Тому для неї . Підставляючи , отримуємо . Звідси випливає, що розмірність дорівнює .
Формально: нехай n — крок фрактала, на n-му кроці у нас буде рівних відрізків, довжиною . Візьмемо за ε відрізок довжиною , тоді щоб покрити всю криву Коха, нам знадобиться відрізків. Для того, щоб виконувалося умова ε → 0, спрямуємо n → n→. Отримаємо
- Розмірність множини Мінковського дорівнює 1/2.
Властивості
- Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
- Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
- Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.
Див. також
Література
- Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rozmirnist Minkovskogo angl box counting dimension obmezhenoyi mnozhini v metrichnomu prostori dorivnyuyeRozmirnist MinkovskogoNazvano na chestd i German MinkovskijPidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematikalimϵ 0ln Nϵ ln ϵ displaystyle lim limits epsilon to 0 frac ln N epsilon ln epsilon de Nϵ displaystyle N epsilon minimalne chislo mnozhin diametra ϵ displaystyle epsilon yakimi mozhna pokriti mnozhinu Yaksho granicya ne isnuye to mozhna rozglyadati verhnyu ta nizhnyu granici i govoriti vidpovidno pro verhnyu i nizhnyu rozmirnosti Minkovskogo Blizkim do rozmirnosti Minkovskogo ponyattyam ye rozmirnist Hausdorfa U bagatoh vipadkah ci rozmirnosti zbigayutsya hocha isnuyut mnozhini dlya yakih voni rizni PrikladiRozmirnist skinchennoyi mnozhini dorivnyuye nulyu oskilki dlya neyi r n displaystyle rho n ne perevershuye kilkosti elementiv u nij Rozmirnist vidrizka dorivnyuye 1 tomu sho neobhidno a ϵ displaystyle lceil a epsilon rceil vidrizkiv dovzhini ϵ displaystyle epsilon shob pokriti vidrizok dovzhini a displaystyle a Takim chinom limϵ 0ln Nϵ ln ϵ limϵ 0ln a ln ϵ ln ϵ 1 displaystyle lim limits epsilon to 0 frac ln N epsilon ln epsilon lim limits epsilon to 0 frac ln a ln epsilon ln epsilon 1 Rozmirnist kvadrata dorivnyuye 2 tak yak chislo kvadratikiv z diagonallyu 1 n displaystyle 1 n neobhidnih shob pokriti kvadrat zi storonoyu a displaystyle a stanovit priblizno a2n2 displaystyle a 2 n 2 Rozmirnist fraktalu mozhe buti drobovim chislom Tak rozmirnist krivoyi Koha dorivnyuye ln 4 ln 3 displaystyle ln 4 ln 3 Bilsh detalno Neformalne mirkuvannya sho pokazuye ce ye nastupnim Vidrizok mozhna rozbiti na 2 chastini podibni vihidnomu vidrizku z koeficiyentom 1 2 Shob pokriti vidrizok mnozhinami diametrom 1 n displaystyle 1 n potribno pokriti kozhnu z polovin takimi mnozhinami Ale dlya polovini yih potribno stilki zh skilki dlya vsogo vidrizka mnozhini diametrom 2 n displaystyle 2 n Tomu dlya vidrizka mayemo r n 2r n 2 displaystyle rho n approx 2 rho n 2 Tobto pri zbilshenni n displaystyle n udvichi r n displaystyle rho n zbilshuyetsya tezh udvichi Inshimi slovami r n displaystyle rho n linijna funkciya Dlya kvadrata analogichne mirkuvannya daye r n 4r n 2 displaystyle rho n approx 4 rho n 2 Tobto pri zbilshenni n displaystyle n udvichi r n displaystyle rho n zbilshuyetsya v 4 razi Inshimi slovami r n displaystyle rho n kvadratichna funkciya Nareshti kriva Koha skladayetsya z 4 chastin kozhna z yakih podibna vihidnij krivij z koeficiyentom 1 3 Tomu dlya neyi r n 4r n 3 displaystyle rho n approx 4 rho n 3 Pidstavlyayuchi n 3k displaystyle n 3 k otrimuyemo r 3k 4r 3k 1 42r 3k 2 4kr 1 4log3 nr 1 nln 4 ln3r 1 displaystyle rho 3 k approx 4 rho 3 k 1 approx 4 2 rho 3 k 2 approx dots approx 4 k rho 1 4 log 3 n rho 1 n ln 4 ln3 rho 1 Zvidsi viplivaye sho rozmirnist dorivnyuye ln 4 ln3 displaystyle ln 4 ln3 Formalno nehaj n krok fraktala na n mu kroci u nas bude 4n displaystyle 4 n rivnih vidrizkiv dovzhinoyu 3 n displaystyle 3 n Vizmemo za e vidrizok dovzhinoyu 3 n displaystyle 3 n todi shob pokriti vsyu krivu Koha nam znadobitsya 4n displaystyle 4 n vidrizkiv Dlya togo shob vikonuvalosya umova e 0 spryamuyemo n n displaystyle infty Otrimayemo limϵ 0ln Nϵ ln ϵ limn ln 4n ln 3 n ln 4ln 3 displaystyle lim limits epsilon to 0 frac ln N epsilon ln epsilon lim limits n to infty frac ln 4 n ln 3 n frac ln 4 ln 3 Rozmirnist mnozhini Minkovskogo 0 1 12 13 14 displaystyle 0 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 dots dorivnyuye 1 2 VlastivostiRozmirnist Minkovskogo skinchennogo ob yednannya mnozhin dorivnyuye maksimumu z yih rozmirnostej Na vidminu vid rozmirnosti Hausdorfa ce nevirno dlya zlichennogo ob yednannya Napriklad mnozhina racionalnih chisel mizh 0 i 1 maye rozmirnist Minkovskogo 1 hocha ye zlichennim ob yednannyam odnoelementnih mnozhin rozmirnist kozhnoyi z yakih dorivnyuye 0 Priklad zamknutoyi zlichennoyi mnozhini z nenulovoyu rozmirnistyu Minkovskogo navedenij vishe Nizhnya rozmirnist Minkovskogo bud yakoyi mnozhini bilshe abo dorivnyuye jogo rozmirnosti Hausdorfa Rozmirnist Minkovskogo bud yakoyi mnozhini dorivnyuye rozmirnosti Minkovskogo yiyi zamikannya Tomu maye sens govoriti lishe pro rozmirnost Minkovskogo zamknutih mnozhin Div takozhRozmirnist Hausdorfa Fraktal Spisok ob yektiv nazvanih na chest Germana MinkovskogoLiteraturaAleksandrov P S Pasynkov B A Vvedenie v teoriyu razmernosti M Nauka 1973 Kronover R M Fraktaly i haos v dinamicheskih sistemah M POSTMARKET 2000