www.wikidata.uk-ua.nina.az

Розмірність Мінковського англ box counting dimension обмеженої множини в метричному просторі дорівнює lim ϵ 0 ln N ϵ ln

Розмірність Мінковського

Розмірність Мінковського (англ. box-counting dimension) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює

де  — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину.

Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

Приклади Редагувати

  • Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї не перевершує кількості елементів у ній.
  • Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно відрізків довжини , щоб покрити відрізок довжини . Таким чином,
  • Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю , необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною , становить приблизно .
  • Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює .
  • Розмірність множини Мінковського дорівнює 1/2.

Властивості Редагувати

  • Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
  • Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
  • Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.

Див. також Редагувати

Література Редагувати

  • Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Rozmirnist Minkovskogo angl box counting dimension obmezhenoyi mnozhini v metrichnomu prostori dorivnyuye lim ϵ 0 ln N ϵ ln ϵ displaystyle lim limits epsilon to 0 frac ln N epsilon ln epsilon de N ϵ displaystyle N epsilon minimalne chislo mnozhin diametra ϵ displaystyle epsilon yakimi mozhna pokriti mnozhinu Yaksho granicya ne isnuye to mozhna rozglyadati verhnyu ta nizhnyu granici i govoriti vidpovidno pro verhnyu i nizhnyu rozmirnosti Minkovskogo Blizkim do rozmirnosti Minkovskogo ponyattyam ye rozmirnist Hausdorfa U bagatoh vipadkah ci rozmirnosti zbigayutsya hocha isnuyut mnozhini dlya yakih voni rizni Zmist 1 Prikladi 2 Vlastivosti 3 Div takozh 4 LiteraturaPrikladi RedaguvatiRozmirnist skinchennoyi mnozhini dorivnyuye nulyu oskilki dlya neyi r n displaystyle rho n nbsp ne perevershuye kilkosti elementiv u nij Rozmirnist vidrizka dorivnyuye 1 tomu sho neobhidno a ϵ displaystyle lceil a epsilon rceil nbsp vidrizkiv dovzhini ϵ displaystyle epsilon nbsp shob pokriti vidrizok dovzhini a displaystyle a nbsp Takim chinom lim ϵ 0 ln N ϵ ln ϵ lim ϵ 0 ln a ln ϵ ln ϵ 1 displaystyle lim limits epsilon to 0 frac ln N epsilon ln epsilon lim limits epsilon to 0 frac ln a ln epsilon ln epsilon 1 nbsp Rozmirnist kvadrata dorivnyuye 2 tak yak chislo kvadratikiv z diagonallyu 1 n displaystyle 1 n nbsp neobhidnih shob pokriti kvadrat zi storonoyu a displaystyle a nbsp stanovit priblizno a 2 n 2 displaystyle a 2 n 2 nbsp Rozmirnist fraktalu mozhe buti drobovim chislom Tak rozmirnist krivoyi Koha dorivnyuye ln 4 ln 3 displaystyle ln 4 ln 3 nbsp Bilsh detalno Neformalne mirkuvannya sho pokazuye ce ye nastupnim Vidrizok mozhna rozbiti na 2 chastini podibni vihidnomu vidrizku z koeficiyentom 1 2 Shob pokriti vidrizok mnozhinami diametrom 1 n displaystyle 1 n nbsp potribno pokriti kozhnu z polovin takimi mnozhinami Ale dlya polovini yih potribno stilki zh skilki dlya vsogo vidrizka mnozhini diametrom 2 n displaystyle 2 n nbsp Tomu dlya vidrizka mayemo r n 2 r n 2 displaystyle rho n approx 2 rho n 2 nbsp Tobto pri zbilshenni n displaystyle n nbsp udvichi r n displaystyle rho n nbsp zbilshuyetsya tezh udvichi Inshimi slovami r n displaystyle rho n nbsp linijna funkciya Dlya kvadrata analogichne mirkuvannya daye r n 4 r n 2 displaystyle rho n approx 4 rho n 2 nbsp Tobto pri zbilshenni n displaystyle n nbsp udvichi r n displaystyle rho n nbsp zbilshuyetsya v 4 razi Inshimi slovami r n displaystyle rho n nbsp kvadratichna funkciya Nareshti kriva Koha skladayetsya z 4 chastin kozhna z yakih podibna vihidnij krivij z koeficiyentom 1 3 Tomu dlya neyi r n 4 r n 3 displaystyle rho n approx 4 rho n 3 nbsp Pidstavlyayuchi n 3 k displaystyle n 3 k nbsp otrimuyemo r 3 k 4 r 3 k 1 4 2 r 3 k 2 4 k r 1 4 log 3 n r 1 n ln 4 l n 3 r 1 displaystyle rho 3 k approx 4 rho 3 k 1 approx 4 2 rho 3 k 2 approx dots approx 4 k rho 1 4 log 3 n rho 1 n ln 4 ln3 rho 1 nbsp Zvidsi viplivaye sho rozmirnist dorivnyuye ln 4 l n 3 displaystyle ln 4 ln3 nbsp Formalno nehaj n krok fraktala na n mu kroci u nas bude 4 n displaystyle 4 n nbsp rivnih vidrizkiv dovzhinoyu 3 n displaystyle 3 n nbsp Vizmemo za e vidrizok dovzhinoyu 3 n displaystyle 3 n nbsp todi shob pokriti vsyu krivu Koha nam znadobitsya 4 n displaystyle 4 n nbsp vidrizkiv Dlya togo shob vikonuvalosya umova e 0 spryamuyemo n n displaystyle infty nbsp Otrimayemo lim ϵ 0 ln N ϵ ln ϵ lim n ln 4 n ln 3 n ln 4 ln 3 displaystyle lim limits epsilon to 0 frac ln N epsilon ln epsilon lim limits n to infty frac ln 4 n ln 3 n frac ln 4 ln 3 nbsp Rozmirnist mnozhini Minkovskogo 0 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle 0 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 dots nbsp dorivnyuye 1 2 Vlastivosti RedaguvatiRozmirnist Minkovskogo skinchennogo ob yednannya mnozhin dorivnyuye maksimumu z yih rozmirnostej Na vidminu vid rozmirnosti Hausdorfa ce nevirno dlya zlichennogo ob yednannya Napriklad mnozhina racionalnih chisel mizh 0 i 1 maye rozmirnist Minkovskogo 1 hocha ye zlichennim ob yednannyam odnoelementnih mnozhin rozmirnist kozhnoyi z yakih dorivnyuye 0 Priklad zamknutoyi zlichennoyi mnozhini z nenulovoyu rozmirnistyu Minkovskogo navedenij vishe Nizhnya rozmirnist Minkovskogo bud yakoyi mnozhini bilshe abo dorivnyuye jogo rozmirnosti Hausdorfa Rozmirnist Minkovskogo bud yakoyi mnozhini dorivnyuye rozmirnosti Minkovskogo yiyi zamikannya Tomu maye sens govoriti lishe pro rozmirnost Minkovskogo zamknutih mnozhin Div takozh RedaguvatiRozmirnist Hausdorfa Fraktal Epsilon entropiya Spisok ob yektiv nazvanih na chest Germana MinkovskogoLiteratura RedaguvatiAleksandrov P S Pasynkov B A Vvedenie v teoriyu razmernosti M Nauka 1973 Kronover R M Fraktaly i haos v dinamicheskih sistemah M POSTMARKET 2000 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Rozmirnist Minkovskogo amp oldid 36669589