Розмірність Гаусдорфа — розмірність множини (в метричному просторі) дорівнює , де — мінімальне число множин діаметра , якими можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі Гаусдорфова розмірність скінченної множини рівна нулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатного об'єму — трьом. Для фрактальних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.
Означення
Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай — обмежена множина у метричному просторі . Наприклад, нехай .
-покриття
Нехай . Не більш ніж зліченну сім'ю підмножин простору будемо називати -покриттям множини , якщо виконуються такі дві властивості:
ρ-міра Гаусдорфа
Нехай . Нехай — покриття множини . Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: . Позначимо через «мінімальний розмір» -покриття множини : , де інфімум береться по всіх -покриттях множини . Очевидно, що функція спадає по . Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при : . Величина називається -мірою Гаусдорфа множини .
Властивості ρ-міри Гаусдорфа
- -міра Гаусдорфа є борелівською мірою на .
- з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; - міра Гаусдорфа множин у збігається з їхнім -мірним об'ємом.
- спадає по . Більш того для будь-якої множини існує критичне значення , таке, що:
- для всіх
- для всіх Значення може бути нульовим, скінченним або нескінченним.
Визначення розмірності Гаусдорфа
Розмірністю Гаусдорфа множини називається число з попереднього пункту.
Властивості розмірності Гаусдорфа
- Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню розмірності Мінковського.
- Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного об'єднання множин дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання зліченної множини до будь-якої множини не змінює її розмірності.
- Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами , то її розмірність є розв'язком рівняння . Наприклад, розмірність множини Кантора дорівнює (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність трикутника Серпінського — (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).
Див. також
Література
- Федер Е. (1991). Фракталы. М.: МИР. с. 254. ISBN .
Джерела
- Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
- А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
- Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
- Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
- Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
- K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
- Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. —
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Rozmirnist Gausdorfa rozmirnist mnozhini v metrichnomu prostori dorivnyuye lim inf n ln r n ln n displaystyle liminf limits n rightarrow infty frac ln rho n ln n de r n displaystyle rho n minimalne chislo mnozhin diametra 1 n displaystyle 1 n yakimi mozhna pokriti mnozhinu Napriklad u trivimirnomu evklidovomu prostori Gausdorfova rozmirnist skinchennoyi mnozhini rivna nulyu rozmirnist gladkoyi krivoyi odinici rozmirnist gladkoyi poverhni dvijci i rozmirnist mnozhini dodatnogo ob yemu trom Dlya fraktalnih mnozhin rozmirnist Gausdorfa mozhe nabuvati drobovih znachen Trikutnik Serpinskogo Prostir z fraktalnoyu rozmirnistyu log2 3 abo ln3 ln2 sho pribl dorivnyuye 1 585 Oznachennya Oznachennya rozmirnosti Gausdorfa skladayetsya z dekilkoh krokiv Nehaj M displaystyle M obmezhena mnozhina u metrichnomu prostori X displaystyle X Napriklad nehaj X R n displaystyle X R n d displaystyle delta pokrittya Nehaj d gt 0 d R displaystyle delta gt 0 delta in R Ne bilsh nizh zlichennu sim yu U i i I displaystyle U i i in I pidmnozhin prostoru X displaystyle X budemo nazivati d displaystyle delta pokrittyam mnozhini M displaystyle M yaksho vikonuyutsya taki dvi vlastivosti M i I U i displaystyle M subset bigcup i in I U i dlya vsih i I displaystyle i in I diametr diam U i lt d displaystyle text diam U i lt delta dlya vsih i I displaystyle i in I diametr mnozhin U i displaystyle U i menshij za d displaystyle delta r mira Gausdorfa Nehaj r gt 0 displaystyle rho gt 0 Nehaj 8 U i i I displaystyle Theta U i i in I pokrittya mnozhini M displaystyle M Viznachimo nastupnu funkciyu yaka v deyakomu plani viznachaye rozmir cogo pokrittya F r 8 i I diam U i r displaystyle F rho Theta sum limits i in I operatorname diam U i rho Poznachimo cherez M r d M displaystyle M rho delta M minimalnij rozmir d displaystyle delta pokrittya mnozhini M displaystyle M M r d M inf F r 8 displaystyle M rho delta M inf F rho Theta de infimum beretsya po vsih d displaystyle delta pokrittyah mnozhini M displaystyle M Ochevidno sho funkciya M r d M displaystyle M rho delta M spadaye po d displaystyle delta Otzhe u neyi ye skinchenna abo neskinchenna granicya pri d 0 displaystyle delta rightarrow 0 M r M lim d 0 M r d M displaystyle M rho M lim limits delta rightarrow 0 M rho delta M Velichina M r M displaystyle M rho M nazivayetsya r displaystyle rho miroyu Gausdorfa mnozhini M displaystyle M Vlastivosti r miri Gausdorfa r displaystyle rho mira Gausdorfa ye borelivskoyu miroyu na X displaystyle X z tochnistyu do mnozhennya na koeficiyent 1 mira Gausdorfa dlya gladkih krivih zbigayetsya z yih dovzhinoyu 2 mira Gausdorfa dlya gladkih poverhon zbigayetsya z yih plosheyu d displaystyle d mira Gausdorfa mnozhin u R d displaystyle mathbb R d zbigayetsya z yihnim d displaystyle d mirnim ob yemom M r M displaystyle M rho M spadaye po r displaystyle rho Bilsh togo dlya bud yakoyi mnozhini M displaystyle M isnuye kritichne znachennya r 0 displaystyle rho 0 take sho M r M 0 displaystyle M rho M 0 dlya vsih r gt r 0 displaystyle rho gt rho 0 M r M displaystyle M rho M infty dlya vsih r lt r 0 displaystyle rho lt rho 0 Znachennya M r 0 M displaystyle M rho 0 M mozhe buti nulovim skinchennim abo neskinchennim Viznachennya rozmirnosti Gausdorfa Rozmirnistyu Gausdorfa mnozhini M displaystyle M nazivayetsya chislo r 0 displaystyle rho 0 z poperednogo punktu Vlastivosti rozmirnosti GausdorfaRozmirnist Gausdorfa bud yakoyi mnozhini ne bilsha za nizhnyu ta verhnyu rozmirnosti Minkovskogo Rozmirnist Gausdorfa ne bilsh nizh zlichennogo ob yednannya mnozhin dorivnyuye maksimalnij rozmirnosti ob yednanih mnozhin Zokrema dodavannya zlichennoyi mnozhini do bud yakoyi mnozhini ne zminyuye yiyi rozmirnosti Dlya samopodibnih mnozhin rozmirnist Gausdorfa mozhe buti obchislena yavno Neformalno yaksho mnozhina rozbivayetsya na n displaystyle n chastin podibnih do vihidnoyi mnozhini z koeficiyentami r 1 r 2 r n displaystyle r 1 r 2 dots r n to yiyi rozmirnist s displaystyle s ye rozv yazkom rivnyannya r 1 s r 2 s r n s 1 displaystyle r 1 s r 2 s dots r n s 1 Napriklad rozmirnist mnozhini Kantora dorivnyuye ln 2 ln 3 displaystyle ln 2 ln 3 rozbivayetsya na dvi chastini koeficiyent podibnosti 1 3 a rozmirnist trikutnika Serpinskogo ln 3 ln 2 displaystyle ln 3 ln 2 rozbivayetsya na 3 chastini koeficiyent podibnosti 1 2 Div takozhPortal Matematika Rozmirnist Lebega Rozmirnist Minkovskogo FraktalLiteraturaFeder E 1991 Fraktaly M MIR s 254 ISBN 5 03 001712 7 DzherelaBenua Mandelbrot Fraktalna geometriya prirodi A Morozov Vvedenie v teoriyu fraktalov Pajtgen H O Rihter P H Krasota fraktalov Kronover R M Fraktaly i haos v dinamicheskih sistemah Bozhokin S V Parshin D A Fraktaly i multifraktaly K I Falconer Fractal Geometry Mathematical Foundations and Applications Feder E Fraktaly M MIR 1991 S 254 ISBN 5 03 001712 7