www.wikidata.uk-ua.nina.az

Нерівність Крамера Рао В математичній статистиці нерівністю Крамера Рао на честь Гаральда Крамера та К Р Рао називається

Нерівність Крамера — Рао

В математичній статистиці нерівністю Крамера—Рао (на честь Гаральда Крамера та К.Р. Рао) називається нерівність, яка при деяких умовах, що накладені на статистичну модель, дає нижню границю для дисперсії оцінки невідомого параметра, виражаючи її через інформацію за Фішером.

Формулювання Редагувати

Нехай дано статистичну модель , — вибірка розміру , визначена функція правдоподібності і виконані такі умови (умови регулярності):

  • і всюди диференційована по .
  • Функція (функція впливу або внеску вибірки) має скінченну дисперсію (або, що те саме,скінченна інформація за Фішером)
  • Для будь-якої статистики з скінченним другим моментом має місце рівність

Нехай при цих умовах дано статистику , яка незміщено оцінює диференційовну функцію . Тоді справедлива наступна нерівність:

Тут — інформація за Фішером.

Частковий випадок Редагувати

Часто використовується наступний частковий випадок нерівності, що наведена вище, що має назву нерівність Крамера-Рао. Нехай виконані умови регулярності, а — незміщена оцінка параметра . Тоді

.

Рівність в цій нерівності досягається тоді і тільки тоді, коли .

Застосування Редагувати

Оцінка параметра називається ефективною, якщо для неї нерівність Крамера-Рао перетворюється в рівність. Таким чином, нерівність може бути використана для доведення того, що дисперсія даної оцінки найменша з можливих, тобто що дана оцінка в деякому сенсі краща за інші.

Джерела Редагувати

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
V matematichnij statistici nerivnistyu Kramera Rao na chest Garalda Kramera ta K R Rao nazivayetsya nerivnist yaka pri deyakih umovah sho nakladeni na statistichnu model daye nizhnyu granicyu dlya dispersiyi ocinki nevidomogo parametra virazhayuchi yiyi cherez informaciyu za Fisherom Zmist 1 Formulyuvannya 2 Chastkovij vipadok 3 Zastosuvannya 4 DzherelaFormulyuvannya RedaguvatiNehaj dano statistichnu model X B P 8 displaystyle X B P theta nbsp x x 1 x n displaystyle x x 1 dots x n nbsp vibirka rozmiru n displaystyle n nbsp viznachena funkciya pravdopodibnosti L 8 x L 8 x 1 x 2 x n displaystyle L theta x L theta x 1 x 2 dots x n nbsp i vikonani taki umovi umovi regulyarnosti L gt 0 displaystyle L gt 0 nbsp i vsyudi diferencijovana po 8 displaystyle theta nbsp Funkciya U 8 x ln L 8 x 8 displaystyle U theta x frac partial ln L theta x partial theta nbsp funkciya vplivu abo vnesku vibirki maye skinchennu dispersiyu abo sho te same skinchenna informaciya za Fisherom Dlya bud yakoyi statistiki 8 x displaystyle widehat theta x nbsp z skinchennim drugim momentom maye misce rivnist 8 X 8 x L 8 x d x X 8 x 8 L 8 x d x displaystyle frac partial partial theta int limits X widehat theta x L theta x dx int limits X widehat theta x frac partial partial theta L theta x dx nbsp Nehaj pri cih umovah dano statistiku 8 x displaystyle widehat theta x nbsp yaka nezmisheno ocinyuye diferencijovnu funkciyu t 8 displaystyle tau theta nbsp Todi spravedliva nastupna nerivnist D 8 8 x t 8 2 I n 8 displaystyle mathrm D theta big widehat theta x big geqslant frac big tau theta big 2 I n theta nbsp rivnist dosyagayetsya todi i tilki todi koli 8 x t 8 displaystyle widehat theta x tau theta nbsp predstavlyayetsya u viglyadi a 8 U 8 x displaystyle a theta U theta x nbsp Tut I n 8 displaystyle I n theta nbsp informaciya za Fisherom Chastkovij vipadok RedaguvatiChasto vikoristovuyetsya nastupnij chastkovij vipadok nerivnosti sho navedena vishe sho maye nazvu nerivnist Kramera Rao Nehaj vikonani umovi regulyarnosti a 8 x displaystyle widehat theta x nbsp nezmishena ocinka parametra 8 displaystyle theta nbsp Todi D 8 8 x 1 I n 8 displaystyle mathrm D theta widehat theta x geqslant frac 1 I n theta nbsp Rivnist v cij nerivnosti dosyagayetsya todi i tilki todi koli 8 x 8 a 8 U 8 x displaystyle hat theta x theta a theta U theta x nbsp Zastosuvannya RedaguvatiOcinka parametra nazivayetsya efektivnoyu yaksho dlya neyi nerivnist Kramera Rao peretvoryuyetsya v rivnist Takim chinom nerivnist mozhe buti vikoristana dlya dovedennya togo sho dispersiya danoyi ocinki najmensha z mozhlivih tobto sho dana ocinka v deyakomu sensi krasha za inshi Dzherela RedaguvatiKartashov M V Imovirnist procesi statistika Kiyiv VPC Kiyivskij universitet 2007 504 s Matematicheskaya statistika pod red V S Zarubina seriya Matematika v tehnicheskom universitete vyp XVII M MGTU 2002 FandPLimitTool Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Nerivnist Kramera Rao amp oldid 39208839