У алгебричній геометрії конструкція Proj є аналогом конструкції (афінних схем) як (спектрів кілець). Одержані за допомогою її допомогою (схеми) мають властивості (проєктивних просторів) і (проєктивних многовидів).
У цій статті всі (кільця) вважаються (комутативними кільцями) з одиницею.
Proj градуйованого кільця
Proj як множина
Нехай — (градуйоване кільце), де
є розкладом у (пряму суму), асоційованим з градуюванням.
Позначимо через ідеал
Нехай множина Proj S є множиною всіх однорідних (простих ідеалів), що не містять
Надалі для стислості Proj S також позначається X.
Proj як топологічний простір
На Proj S можна ввести топологію, що називається (топологією Зариського), якщо визначити (замкнутими множинами) множини виду
де a — однорідний ідеал S. Як і у випадку афінних схем, легко перевіряється, що V(a) — замкнуті множині деякої топології на X.
Дійсно, якщо — сім'я ідеалів, то
і якщо множина I є скінченною, то
.
Еквівалентно, можна почати з відкритих множин і визначити
Стандартне скорочення полягає в тому, щоб позначати D(Sf) як D(f), де Sf — ідеал, породжений f. Для будь-якого a, D(a) і V(a) є доповнюючими множинами і наведене вище доведення показує, що D(a) утворюють топологію на Proj S. Перевага цього підходу в тому, що D(f), де f пробігає всі однорідні елементи S, утворюють (базис) цієї топології, що є необхідним інструментом для вивчення Proj S, аналогічно випадку спектрів кілець.
Proj як схема
На Proj S можна ввести (пучок), що називається структурним пучком і перетворює його в схему. Як і в випадку конструкції Spec існує кілька способів це зробити: найбільш прямий з яких нагадує конструкцію регулярних функцій на проєктивному многовиді в класичній алгебричній геометрії. Для будь-якої відкритої множини U в Proj S кільце задається як множина всіх функцій
(Де позначає (підкільце) (локального кільця)
точки
, що складається з часток однорідних елементів однакового степеня) таких, що для кожного простого ідеалу p в U:
- F(p) є елементом
;
- Існує відкрита підмножина V множини U, що містить p, і однорідні елементи s, t кільця S однакового степеня, такі, що для кожного простого ідеалу q в V:
- t не належить q;
- F(q) = s/t.
З визначення негайно випливає, що утворюють пучок кілець
на Proj S, і можна показати, що пара (Proj S,
) є схемою. А саме обмеження Proj S на відкриту підмножину D(f) є ізоморфним афінній схемі
де
позначає кільце елементів нульового степеня у локалізації
тобто кільце елементів виду
Оскільки множини D(f) для однорідних f утворюють базу топології Зариського, то Proj S дійсно є схемою.
Пучок, асоційований з градуйованим модулем
Істотною властивістю S в конструкції вище була можливість побудови локалізацій для кожного простого ідеалу p в S. Цією властивістю також володіє будь-який градуйований модуль M над S, і, отже, конструкція з розділу вище із невеликими змінами дозволяє побудувати для такого M пучок
-модулів на Proj S, що позначається
. За побудовою цей пучок є . Якщо S породжується скінченною кількістю елементів степеня 1 (тобто є кільцем многочленів або його фактором), всі квазікогерентні пучки на Proj S утворюються із градуйованих модулів за допомогою цієї конструкції. Відповідний градуйований модуль не є єдиним.
скручуючий пучок Серра
Окремим випадком пучка, асоційованого з градуйованим модулем є коли в якості M взяти саме S з іншим градуюванням: а саме, елементами степеня d модуля M є елементи степеня (d + 1) кільця S і M = S(1). Одержується квазікогерентний пучок на Proj S, що позначається
або просто O (1) і називається скручуючим пучком Серра. Можна перевірити, що O(1) є .
Одна з причин корисності O (1) полягає в тому, що він дозволяє відновити алгебричну інформацію про S, яка була втрачена в конструкції при переході до часток степеня 0. У випадку Spec A для кільця A, глобальні перетини структурного пучка є самим A, тоді як в нашому випадку глобальні перетини пучка
складаються з елементів S ступеня 0. Якщо ми визначимо
то кожне O(n) містить інформацію степеня n про S. Аналогічно, для пучка -модулів N, асоційованого з S-модулем M можна визначити
і очікувати, що цей пучок містить втрачену інформацію про M. Це дозволяє припустити, хоча і неправильно, що S можна відновити з цих пучків; це насправді вірно, якщо S є (кільцем многочленів).
n-вимірний проєктивний простір
Якщо A — кільце, то n-вимірний проєктивний простір над A за означенням є схемою
Градуювання на кільці вводиться вважаючи, що кожен
має степінь 1 і кожен елемент A має степінь 0 . Зіставляючи це з означенням O (1), даним вище, перетину O (1) - лінійні однорідні многочлени, породжені елементами
.
Приклади
- Якщо взяти як базове кільце
, то
має канонічний проєктивний морфізм на афінну пряму
, шари якого є (еліптичними кривими), крім шарів над точками
, над якими шари вироджуються в нодальні криві.
- Проєктивна гіперповерхня
є прикладом тривимірної квінтики Ферма, яка також є (многовидом Калабі — Яу).
- Зважений проєктивний простір можна побудувати, використовуючи кільця многочленів з нестандартними степенями змінних. Наприклад, зважений проєктивний простір
відповідає
кільця
де
мають ступінь
, тоді як
має ступінь 2.
- Біградуйоване кільце відповідає підсхемі добутку проєктивних просторів. Наприклад, біградуйована алгебра
, де
мають степінь
і
мають степінь
, відповідає
.
Примітки
- Ravi Vakil. Foundations of Algebraic Geometry. — 2015., Corollary 15.4.3.
Література
- Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes» [ 15 грудня 2018 у Wayback Machine.]. Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.
- Ueno, Kenji (1999), Algebraic geometry I. From algebraic varieties to schemes, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет