Клітка (теорія графів)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Клітка (значення).

n-клітка — кубічний граф обхвату n з найменшим можливим числом вершин. Граф називається кубічним, якщо з кожної його вершини виходять 3 ребра. Обхват графа — це довжина найменшого циклу в ньому.

• 3-клітка — К₄, остов тетраедра, 4 вершини.
• 4-клітка — К_3,3, один з двох мінімальних не планарних графів, 6 вершин.
• 5-клітка — граф Петерсена, 10 вершин. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 2.
• 6-клітка — граф Хівуда, 14 вершин. Розбивається на 1-фактори (тобто, реберно розфарбовуємий), будь-яка сума двох чинників утворює гамільтонів цикл. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 3.
• 7-клітка — граф Маꥳ, 24 вершини. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 8.
• 8-клітка — граф Татта — Коксетера, 30 вершин.

Граф Петерсена

Граф Хівуда

Граф Маꥳ

Граф Татта — Коксетера

Граф Гофмана — Синглтона

Узагальнене визначення

(r,n)-клітка — регулярний граф ступеня r (тобто з кожної вершини якого виходить рівно r ребер) та обхвату n з найменшим можливим числом вершин.

Тривіальні сімейства

• (2,n)-клітками є, очевидно, циклічні графи C_n
• (r-1,3)-клітки — повні графи К_r з r вершин
• (r,4)-клітки — повні двочасткові графи К_r,r, у яких в кожній долі знаходиться по r вершин

Нетривіальні представники

• (7,5)-клітка — граф Гофмана — Синглтона, 50 вершин.

Відомі ще деякі клітки. У таблиці нижче показано кількість вершин в (r,n)-клітинах ступеня 3≤r≤7 та обхвату 3≤n≤12. Клітки для цих та великих r и n описані тут: (англійською мовою).

n:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
r = 3:	4	6	10	14	24	30	58	70	112	126
r = 4:	5	8	19	26	67	80	275	384		728
r = 5:	6	10	30	42	152	170				2730
r = 6:	7	12	40	62	294	312				7812
r = 7:	8	14	50	90

Графи Мура

Кількість вершин в (r,n)-клітці більше або дорівнює

Якщо має місце рівність, то відповідний граф називається графом Мура. У той час як клітка існує для будь-яких r > 2 і n > 2, нетривіальних графів Мура набагато менше. З вищезгаданих клітин, графами Мура є граф Петерсена, граф Хівуда, граф Татта — Коксетера і граф Гофмана — Синглтона. Доведено, що всі непарні випадки вичерпуються n = 5, r = 2, 3, 7 та, можливо, 57, а парні n = 6, 8, 12.

Примітки

1. Bannai, E. and Ito, T. «On Moore Graphs.» J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. A 20, 191—208, 1973
2. Damerell, R. M. «On Moore Graphs.» Proc. Cambridge Philos. Soc. 74, 227—236, 1973
3. Hoffman, A. J. and Singleton, R. R. «On Moore Graphs of Diameter 2 and 3.» IBM J. Res. Develop. 4, 497—504, 1960

Література

• Ф. Харари Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с — ISBN 5-354-00301-6.

Посилання

• Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (вид. 2nd). Cambridge Mathematical Library. с. 180–190. ISBN 0-521-45897-8. .
• Bollobás, Béla; Szemerédi, Endre (2002). Girth of sparse graphs. Journal of Graph Theory 39 (3): 194–200. MR 1883596. doi:10.1002/jgt.10023. .
• Exoo, G; Jajcay, R (2008). . Dynamic Surveys. Electronic Journal of Combinatorics DS16. Архів оригіналу за 1 січня 2015. Процитовано 28 червня 2016. .
• Erdős, Paul; Rényi, Alfréd; Sós, Vera T. (1966). . Studia Sci. Math. Hungar. 1: 215–235. Архів оригіналу за 9 березня 2016. Процитовано 28 червня 2016. .
• Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (1990). Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction. Academic Press. с. 77–81. ISBN 0-12-328552-6. .
• Holton, D. A.; Sheehan, J. (1993). The Petersen Graph. Cambridge University Press. с. 183–213. ISBN 0-521-43594-3. .
• Lubotzky, A.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988). Ramanujan graphs. Combinatorica 8 (3): 261–277. MR 963118. doi:10.1007/BF02126799. .
• Tutte, W. T. (1947). A family of cubical graphs. Proc. Cambridge Philos. Soc. 43 (4): 459–474. doi:10.1017/S0305004100023720. .

Посилання

• Brouwer, Andries E. Cages [ 27 грудня 2008 у Wayback Machine.](англ.)
• Royle, Gordon. and (англ.)
• Weisstein, Eric W. Cage Graph(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.