www.wikidata.uk-ua.nina.az

Довірчий інтервал Ця стаття є сирим перекладом з російської мови Можливо вона створена за допомогою машинного перекладу

Довірчий інтервал

Ця стаття є сирим перекладом з російської мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. Будь ласка, допоможіть поліпшити переклад. (січень 2017)

Довірчий інтервал (англ. confidence interval, CI) — у математичній статистиці є типом інтервальної оцінки[en], яку обчислюють за даними спостереження, і яка покриває невідомий статистичний параметр із заданою надійністю. Це інтервал, у межах якого з заданою довірчою імовірністю можна чекати значення оцінюваної (шуканої) випадкової величини. Застосовують для повнішої оцінки точності порівняно з точковою оцінкою. Метод довірчих інтервалів розробив американський статистик Єжи Нейман, виходячи з ідей англійського статистика Рональда Фішера.

Наприклад, можна сказати: результати опитування показали, що кандидат набере на виборах 40 % голосів. Проте математично правильніше сказати: з імовірністю 90 % кількість голосів набраних кандидатом згідно з опитуваннями лежить в інтервалі 40±3 %. Тут довірчим інтервалом є ±3 %.

Визначення

Довірчим інтервалом параметра розподілу випадкової величини з рівнем довіри p, для вибірки , називається інтервал з межами та , які є реалізаціями випадкових величин та , таких, що .

Граничні точки довірчого інтервалу та називаються довірчими межами.

Тлумачення довірчого інтервалу, засноване на інтуїції, буде таким: якщо рівень довіри p великий (скажімо, 0,95 або 0,99), то довірчий інтервал майже напевно містить істинне значення . Ще одне тлумачення поняття довірчого інтервалу: його можна розглядати як інтервал значень параметра, що є сумісними з даними дослідів і не суперечать їм.

Точніше, хоч також не зовсім формально, тлумачення довірчого інтервалу з рівнем довіри, наприклад, 95 %: якщо провести дуже велику кількість незалежних експериментів з аналогічною побудовою довірчого інтервалу, то в 95 % експериментів довірчий інтервал буде містити оцінюваний параметр (тобто буде виконуватися ), а в решті 5 % експериментів довірчий інтервал не міститиме .

Основні положення

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю. Нехай  — n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо. Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.

  1. Визначення 1. Функція спостережень a1(x1,…,xn) (зауважимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P

.

  1. Визначення 2. Функція спостережень a2(x1,…,xn) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні

.

  1. Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)

I(x) = (a1(x), a2(x)), обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД, якщо при будь-якому значенні a , тобто імовірність (що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a — більше або дорівнює РД.

Побудова довірчих границь і інтервалів

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики , по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка ). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина , що залежить від статистики і невідомого параметра a така, що:

  1. закон розподілу відомий і не залежить від a;
  2. є неперервною та монотонною по.

Виберемо діапазон для інтервал так, щоб влучення в нього було практично вірогідно: для чого досить як взяти квантилі розподілу рівня (1- РД)/2 і (1+ РД)/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв'язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що монотонно зростає по a): . Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал є довірчим для a з рівнем довіри РД. Якщо спадає по a, інтервалом є . Для побудови однобічної границі для a виберемо значення так, щоб чи де  — квантиль рівня . Після розв'язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.


Рисунок — Довірчі межі та довірчі ймовірності.

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95. Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

Див. також

Примітки

  1. величину, що доповнює довірчу ймовірність до одиниці, зазвичай позначають α

Література

Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге, перероб. і доп.). Київ: Знання. с. 446. 


Це незавершена стаття зі статистики.
Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Confidence interval(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою перекладу з англійської.
  • Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».
  • Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
  • Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
  • Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
  • Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри
Дата публікації:
Cya stattya ye sirim perekladom z rosijskoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad sichen 2017 Dovirchij interval angl confidence interval CI u matematichnij statistici ye tipom intervalnoyi ocinki en yaku obchislyuyut za danimi sposterezhennya i yaka pokrivaye nevidomij statistichnij parametr iz zadanoyu nadijnistyu Ce interval u mezhah yakogo z zadanoyu dovirchoyu imovirnistyu mozhna chekati znachennya ocinyuvanoyi shukanoyi vipadkovoyi velichini Zastosovuyut dlya povnishoyi ocinki tochnosti porivnyano z tochkovoyu ocinkoyu Metod dovirchih intervaliv rozrobiv amerikanskij statistik Yezhi Nejman vihodyachi z idej anglijskogo statistika Ronalda Fishera Napriklad mozhna skazati rezultati opituvannya pokazali sho kandidat nabere na viborah 40 golosiv Prote matematichno pravilnishe skazati z imovirnistyu 90 kilkist golosiv nabranih kandidatom zgidno z opituvannyami lezhit v intervali 40 3 Tut dovirchim intervalom ye 3 Zmist 1 Viznachennya 2 Osnovni polozhennya 3 Pobudova dovirchih granic i intervaliv 4 Div takozh 5 Primitki 6 LiteraturaViznachennya RedaguvatiDovirchim intervalom parametra 8 theta rozpodilu vipadkovoyi velichini X X z rivnem doviri p primitka 1 dlya vibirki x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nazivayetsya interval z mezhami l x 1 x n displaystyle l x 1 ldots x n ta u x 1 x n displaystyle u x 1 ldots x n yaki ye realizaciyami vipadkovih velichin L X 1 X n displaystyle L X 1 ldots X n ta U X 1 X n displaystyle U X 1 ldots X n takih sho P L 8 U p displaystyle mathbb P L leqslant theta leqslant U p Granichni tochki dovirchogo intervalu l l ta u displaystyle u nazivayutsya dovirchimi mezhami Tlumachennya dovirchogo intervalu zasnovane na intuyiciyi bude takim yaksho riven doviri p velikij skazhimo 0 95 abo 0 99 to dovirchij interval majzhe napevno mistit istinne znachennya 8 theta She odne tlumachennya ponyattya dovirchogo intervalu jogo mozhna rozglyadati yak interval znachen parametra sho ye sumisnimi z danimi doslidiv i ne superechat yim Tochnishe hoch takozh ne zovsim formalno tlumachennya dovirchogo intervalu z rivnem doviri napriklad 95 yaksho provesti duzhe veliku kilkist nezalezhnih eksperimentiv z analogichnoyu pobudovoyu dovirchogo intervalu to v 95 eksperimentiv dovirchij interval bude mistiti ocinyuvanij parametr 8 theta tobto bude vikonuvatisya L 8 U displaystyle L leqslant theta leqslant U a v reshti 5 eksperimentiv dovirchij interval ne mistitime 8 theta Osnovni polozhennya RedaguvatiDlya povnogo uyavlennya pro tochnist vimiryuvan ta nadijnist ocinki vipadkovih vidhilen rezultativ vimiryuvan osoblivo pri obmezhenij kilkosti znachen vimiryuvanoyi velichini neobhidno zadatisya dovirchimi mezhami dovirchim intervalom ta dovirchoyu jmovirnistyu Nehaj x 1 x n x displaystyle left x 1 x n right equiv x n nezalezhnih sposterezhen nad vipadkovoyu velichinoyu z zakonom rozpodilu F z a sho zalezhit vid parametra a znachennya yakogo nevidomo Dovirchi mezhi vipadkovih pohibok ce verhnya ta nizhnya mezhi intervalu v yaki pohibki potraplyayut iz zadanoyu jmovirnistyu R Velichina R nazivayetsya dovirchoyu jmovirnistyu Dlya viznachennya dovirchih mezh pohibok neobhidno znati gustinu rozpodilu pohibok ta jmovirnist potraplyannya pohibok u dovirchi mezhi Yaksho ne vvesti obmezhennya to zadacha matime mnozhinu rozv yazkiv Viznachennya 1 Funkciya sposterezhen a1 x1 xn zauvazhimo sho ce vipadkova velichina nazivayetsya nizhnoyu dovirchoyu graniceyu dlya parametra a z rivnem doviri RD zvichajno blizkim do 1 yaksho pri bud yakomu znachenni vikonuyetsya PP a 1 x 1 x n a P displaystyle P a 1 left x 1 x n right leq a geq P Viznachennya 2 Funkciya sposterezhen a2 x1 xn vipadkova velichina nazivayetsya verhnoyu dovirchoyu graniceyu dlya parametra a z rivnem doviri RD yaksho pri bud yakomu znachenniP a 1 x 1 x n a P displaystyle P a 1 left x 1 x n right geq a geq P Viznachennya 3 Interval z vipadkovimi kincyami vipadkovij interval I x a1 x a2 x obumovlenij dvoma funkciyami sposterezhen nazivayetsya dovirchim intervalom dlya parametra a z rivnem doviri RD yaksho pri bud yakomu znachenni a P I x a P a 1 x 1 x n a a 2 x 1 x n P displaystyle P left I left x right in a right equiv P a 1 left x 1 x n right leq a leq a 2 left x 1 x n right geq P tobto imovirnist sho zalezhit vid a nakriti vipadkovim intervalom I x spravzhnye znachennya a bilshe abo dorivnyuye RD Pobudova dovirchih granic i intervaliv RedaguvatiDlya pobudovi dovirchogo intervalu chi granici neobhidno znati zakon rozpodilu statistiki 3 3 x 1 x n displaystyle xi xi left x 1 x n right po yakij ocinyuyetsya nevidomij parametr takoyu statistikoyu mozhe buti ocinka 3 a x 1 x n displaystyle xi hat a left x 1 x n right Odin zi sposobiv pobudovi polyagaye v nastupnomu Pripustimo sho deyaka vipadkova velichina f f 3 a displaystyle varphi varphi xi a sho zalezhit vid statistiki 3 displaystyle xi i nevidomogo parametra a taka sho zakon rozpodilu vidomij i ne zalezhit vid a f 3 a displaystyle varphi xi a ye neperervnoyu ta monotonnoyu po Viberemo diapazon dlya f varphi interval f 1 f 2 displaystyle f 1 f 2 tak shob vluchennya v nogo bulo praktichno virogidno P f 1 f 3 a f 2 P displaystyle P f 1 leq varphi xi a leq f 2 geq P dlya chogo dosit yak f 1 f 2 displaystyle f 1 f 2 vzyati kvantili rozpodilu f displaystyle varphi rivnya 1 RD 2 i 1 RD 2 vidpovidno Perejdemo v do inshogo zapisu vipadkovoyi podiyi Rozv yazuyuchi nerivnosti shodo parametra a oderzhimo dumayuchi sho f displaystyle varphi monotonno zrostaye po a P g 3 f 1 a g 3 f 2 P displaystyle P g xi f 1 leq a leq g xi f 2 geq P Ce spivvidnoshennya virne pri bud yakim znachenni parametra a i tomu vidpovidno do viznachennya vipadkovij interval g 3 f 1 g 3 f 2 displaystyle g xi f 1 g xi f 2 ye dovirchim dlya a z rivnem doviri RD Yaksho f displaystyle varphi spadaye po a intervalom ye g 3 f 2 g 3 f 1 displaystyle g xi f 2 g xi f 1 Dlya pobudovi odnobichnoyi granici dlya a viberemo znachennya f 1 f 2 displaystyle f 1 f 2 tak shob P f 3 a f 1 P f 1 Q 1 P displaystyle P varphi xi a geq f 1 geq P f 1 Q left 1 P right chi P f 3 a f 2 P f 2 Q P displaystyle P varphi xi a leq f 2 geq P f 2 Q left P right de Q P displaystyle Q P kvantil rivnya P P Pislya rozv yazannya nerivnosti oderzhimo odnobichni dovirchi granici dlya a Risunok Dovirchi mezhi ta dovirchi jmovirnosti Dlya zvichajnih tehnichnih vimiryuvan koli ne vimagayetsya visokij stupin nadijnosti ta tochnosti dovircha jmovirnist beretsya u mezhah 0 9 0 95 Vihodyachi z normalnogo zakonu rozpodilu mozhna rozrahovuvati jmovirnist viniknennya vipadkovih pohibok z riznimi znachennyami Div takozh RedaguvatiJmovirnist vipadkovoyi velichini Dovirchij interval dlya kovariaciyi vipadkovih velichin Imovirnij interval Dovirchij interval Dovircha smugaPrimitki Redaguvati velichinu sho dopovnyuye dovirchu jmovirnist do odinici zazvichaj poznachayut aLiteratura RedaguvatiSeno P S 2007 Teoriya jmovirnostej ta matematichna statistika vid 2 ge pererob i dop Kiyiv Znannya s 446 Ce nezavershena stattya zi statistiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi V inshomu movnomu rozdili ye povnisha stattya Confidence interval angl Vi mozhete dopomogti rozshirivshi potochnu stattyu za dopomogoyu perekladu z anglijskoyi Divitis avtoperekladenu versiyu statti z movi anglijska Perekladach povinen rozumiti sho vidpovidalnist za kincevij vmist statti u Vikipediyi nese same avtor redaguvan Onlajn pereklad nadayetsya lishe yak korisnij instrument pereglyadu vmistu zrozumiloyu movoyu Ne vikoristovujte nevichitanij i nevidkorigovanij mashinnij pereklad u stattyah ukrayinskoyi Vikipediyi Mashinnij pereklad Google ye korisnoyu vidpravnoyu tochkoyu dlya perekladu ale perekladacham neobhidno vipravlyati pomilki ta pidtverdzhuvati tochnist perekladu a ne prosto skopiyuvati mashinnij pereklad do ukrayinskoyi Vikipediyi Ne perekladajte tekst yakij vidayetsya nedostovirnim abo neyakisnim Yaksho mozhlivo perevirte tekst za posilannyami podanimi v inshomovnij statti Dokladni rekomendaciyi div Vikipediya Pereklad Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Dovirchij interval amp oldid 36408470